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ÁlgebraTransformaciones Lineales

Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son funciones entre K\KK-espacios vectoriales compatibles con la operación y acción de estos espacios.

Sean (V,+V,⋅V)(V, +_V, \cdot_V) y (W,+W,⋅W)(W, +_W, \cdot_W) dos K\KK-espacios vectoriales. Una función f:V→Wf: V \to W es una transformación lineal de VV en WW si cumple:

  1. f(v+Vv′)=f(v)+Wf(v′),∀v,v′∈Vf(\bfv +_V \bfv') = f(\bfv) +_W f(\bfv'), \quad \forall \bfv, \bfv' \in V.
  2. f(λ⋅Vv)=λ⋅Wf(v),∀λ∈K,∀v∈Vf(\lambda \cdot_V \bfv) = \lambda \cdot_W f(\bfv), \quad \forall \lambda \in \KK, \forall \bfv \in V.

Si f:V→Wf : V \to W es una transformación lineal, entonces f(0v)=0wf(0_{\bf{v}}) = 0_{\bf{w}}.

Además, tenemos que:

  1. Si SS es subespacio de VV, entonces f(S)f(S) es subespacio de WW.
  2. Si TT es subespacio de WW, entonces f−1(T)f^{-1}(T) es subespacio de VV.

Sean V,WV, W dos K\KK-espacios vectoriales, VV de dimensión finita. Sea B={v1,…,vn}B = \{\bfv_1, \ldots, \bfv_n\} una base de VV y sean w1,…,wn∈W\bfw_1, \ldots, \bfw_n \in W. Existe una única transformación lineal f:V→Wf: V \to W tal que f(vi)=wi,  1≤i≤nf(\bfv_i) = \bfw_i , \; 1 \leq i \leq n.

Tipos de transformaciones lineales

  1. ff es un monomorfismo si es inyectiva.
  2. ff es un epimorfismo si es sobreyectiva.
  3. ff es un isomorfismo si es biyectiva.
  4. ff es un endomorfismo si V=WV = W.

Sea VV un K\KK-espacio vectorial de dimensión nn. Existe un isomorfismo f:V→Knf : V \to \KK^n.

Núcleo e imagen

A una transformación lineal f:V→Wf: V \to W se le puede asociar un subespacio de VV (núcleo) que permite medir el tamaño de la pre-imagen por ff de un elemento de su imagen. Ese subespacio permite determinar si ff es inyectiva.

El núcleo de una transformación lineal es un subespacio de VV.

Sean V,WV, W dos K\KK-espacios vectoriales y f:V→Wf: V \to W una transformación lineal.
El núcleo de ff es el conjunto Nu(f)={v∈V∣f(v)=0}=f−1(0)\textnormal{Nu}(f) = \{\bfv \in V | f(\bfv) = 0 \} = f^{-1}({0}).

Además, ff es monomorfismo   ⟺  Nu(f)={0}\iff \textnormal{Nu}(f) = \{ 0\}

Ejemplo: Sea f:R3→R2f: \RR^3 \to \RR^2, f(x1,x2,x3)=(x1,x2)f(x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_2). Entonces:

Nu(f)={(x1,x2,x3)∈R3  ∣  f(x1,x2,x3)=0}={(x1,x2,x3)  ∣  x1=x2=0∈R}=  <(0,0,1)>\begin{aligned} Nu(f) &= \{(x_1, x_2, x_3) \in \RR^3 \; | \; f(x_1, x_2, x_3) = 0 \} \\ &= \{(x_1, x_2, x_3) \; | \; x_1 = x_2 = 0 \in \RR \} \\ &= \; <(0, 0, 1)> \end{aligned}

El otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen.

Sean V,WV, W dos K\KK-espacios vectoriales y f:V→Wf: V \to W una transformación lineal. La imagen se define como Im(f)={w∈W∣∃v∈V,f(v)=w}⊆W\textnormal{Im}(f) = \{ \bfw \in W | \exists \bfv \in V, f(\bfv) = \bfw \} \subseteq W.

La imagen de una transformación lineal es un subespacio de WW.

Ejemplo: Ejemplo. Hallar la imagen de la transformación lineal f:R3→R3f : \RR^3 \to \RR^3 definida como
f(x1,x2,x3)=(x1−x2,−x1+x2,2x1−2x2+x3)f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2, -x_1 + x_2, 2x_1 - 2x_2 + x_3).

Siguiendo la definición,

Im(f)={y∈R3  ∣  ∃x∈R3,f(x)=y}={(y1,y2,y3)∈R3  ∣  ∃(x1,x2,x3)∈R3,(x1−x2,−x1+x2,2x1−2x2+x3)=(y1,y2,y3)}\begin{aligned} \textnormal{Im}(f) &= \{y \in \RR^3 \; | \; \exists x \in \RR^3, f(x) = y \} \\ &= \{(y_1, y_2, y_3) \in \RR^3 \; | \; \exists (x_1, x_2, x_3) \in \RR^3, (x_1 - x_2, -x_1 + x_2, 2x_1 - 2x_2 + x_3) = (y_1, y_2, y_3) \} \\ \end{aligned}

Un elemento de yy pertenece a Im(f)\textnormal{Im}(f) solo si:

y=(x1−x2,−x1+x2,2x1−2x2+x3)=(x1,−x1,2x1)+(−x2,x2,−2x2)+(0,0,x3)=x1(1,−1,2)+x2(−1,1,−2)+x3(0,0,1)\begin{aligned} y &= (x_1 - x_2, -x_1 + x_2, 2x_1 - 2x_2 + x_3) \\ &= (x_1, -x_1, 2x_1) + (-x_2, x_2, -2x_2) + (0, 0, x_3) \\ &= x_1(1, -1, 2) + x_2(-1, 1, -2) + x_3(0, 0, 1) \end{aligned}

Luego, Im(f)=  <(1,−1,2),(−1,1,−2),(0,0,1)>  =  <(1,−1,2),(0,0,1)>\textnormal{Im}(f) = \; < (1, -1, 2), (-1, 1, -2), (0, 0, 1) > \; = \; < (1, -1, 2), (0, 0, 1) >.

Teorema de la dimensión

Sean V,WV, W dos K\KK-espacios vectoriales, con VV de dimensión finita, y sea f:V→Wf: V \to W una transformación lineal. Entonces,

dim⁡(V)=dim⁡(Nu(f))+dim⁡(Im(f))\dim(V) = \dim(\textnormal{Nu}(f)) + \dim(\textnormal{Im}(f))
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