Series

Una serie es la suma de una sucesión de términos.

Dado ${a_n}$ una sucesión, si queremos sumar sus infinitos términos, definimos una serie. La serie de términos ${a_n}$ se denota:

Si tuviesemos el valor de la sucesión como por ejemplo, ${a_n} = \frac{1}{2^n}$, entonces la serie es:

Convergencia y Divergencia

Para cada $k \in \mathbb{N}$, definimos la k-ésima suma parcial de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ como:

Donde ${S_k}$ es una sucesión de números reales.

Si su límite existe y es finito, es decir, si:

La serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n$ es convergente y $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n = S$.

De lo contrario, si su límite:

La serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n$ es divergente.

Ejemplos:

Determinar si las siguientes series divergen o convergen:

1.

Primero, determinamos las sumas parciales $S_k$:

Ahora con la fórmula de $S_k$, determinamos el límite:

$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} S_k = \infty \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} n$ es divergente.

2.

Primero, determinamos las sumas parciales $S_k$:

Ahora con la fórmula de $S_k$, determinamos el límite:

$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} S_k = 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{2^n}$ es convergente y $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{2^n} = 1$.

Series Geométricas

Dado $r \in \mathbb{R}$, una serie geométrica es una serie de la forma $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} r^{n}$

Teorema de la Serie Geométrica

1. Si $|r| < 1$, entonces $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} r^{n}$ es convergente y $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} r^{n} = \frac{1}{1-r}$.

2. Si $|r| \geq 1$, entonces $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} r^{n}$ es divergente.

Ejemplos:

Determina si las siguientes series geométricas convergen o divergen y en caso de converger, determina su valor:

1.

Por el teorema, $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$ converge y se cumple que:

2.

Por el teorema, $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} 2^n}$ diverge.

Series Armónicas e Hiperarmónicas

Una serie armónica es una serie de la forma $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n}$

Una serie hiperarmónica es una serie de la forma $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n^p}$

• $p > 1 \implies$ la serie converge
• $p < 1 \implies$ la serie diverge
• $p = 1 \implies$ la serie es armónica

Propiedades de las Series

Sean $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ y $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ dos series convergentes y $c \in \mathbb{R}$, entonces:

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)}$ y $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c a_n}$ convergen
2. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n)} = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} \pm \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$
3. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n} = c \cdot \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$

Criterio de la divergencia

Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge, entonces $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}$
Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es una serie tal que $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0} \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es divergente.

Criterio de comparación

Sean $0 \leq a_n \leq b_n$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces:

1. Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ converge, entonces $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge.
2. Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ diverge, entonces $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ diverge.

Criterio de comparación en el límite

Sean $a_n, b_n \geq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces:

1. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0} \implies$ Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge $\iff \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ converge.
2. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0} \implies$ Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ converge, $\implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge.
3. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty} \implies$ Si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ diverge, $\implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ diverge.

Criterio de la integral

Sea $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ una función decreciente y positiva, Si $f(n) = a_n$:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge $\iff \displaystyle{\int_{1}^{\infty} f(x)dx}$ converge.

Serie alternante

Una serie alternante es una serie en la que sus términos son $+$ y $-$ alternados.

Por ejemplo:

Criterio de comparación (Serie alternante)

Si $a_n \geq a_{n+1} > 0 \; \forall n \;\land\; \displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}$, entonces la serie alternante $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \; a_n}$ converge
(igual para $a_{n+1}$)

Convergencia absoluta y condicional

Una serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es absolutamente convergente si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|}$ converge.

Una serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es condicionalmente convergente si $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ converge pero $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|}$ diverge.

Criterio del cociente

Sea $a_n \neq 0 \; \forall n \in \mathbb{N}$ y $r = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$ :

1. Si $r < 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es absolutamente convergente.

2. Si $r > 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es divergente.

3. Si $r = 1 \implies$ el criterio no es concluyente.

Criterio de la raíz

Dada la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ y $r = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$:

1. Si $r < 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es absolutamente convergente.

2. Si $r > 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ es divergente.

3. Si $r = 1 \implies$ el criterio no es concluyente.

Series de potencias

Definimos una serie de potencias centrada en $a$ : $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x - a)^n}\;,\;a \in \mathbb{R}$

Sea $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x - a)^n}$, se cumple una de las siguientes:

1. La serie converge solo para $x = a$

2. La serie converge absolutamente para todo $x \in \mathbb{R}$

3. $\exists R > 0$ tal que la serie converge absolutamente $\forall x \iff |x - a| < R$, y diverge $\forall x \iff |x - a| > R$

Radio de convergencia

En base a lo definido anteriormente:

1. La serie tiene radio de convergencia $R = 0$ si solo converge para $x = a$

2. La serie tiene radio de convergencia $R = \infty$ si converge $\forall x \in \mathbb{R}$

3. Si ocurre el caso 3 anterior, el radio de convergencia es $R$

Intervalo de convergencia

Llamamos intervalo de convergencia al conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la serie converge.

1. $R = 0 \implies I = \{a\}$

2. $R = \infty \implies I = \mathbb{R}$

3. $R > 0 \implies I = (a - R, a + R) \lor (a - R, a + R] \lor [a - R, a + R) \lor [a - R, a + R]$

Ejemplo:

Dada la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \; x^n}$, determina su radio e intervalo de convergencia.

• Si $x = 1$ tenemos la serie armónica $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}$ la cual diverge. Luego, $R \leq 1$

• Si $x = -1$ tenemos la serie alternante $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}}$ la cual converge. Luego, $R \geq 1$

Por lo tanto, $R = 1$ y $I = (-1, 1]$

Criterio del cociente para series de potencias

Dada la serie $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x-a)^n}$:

$L = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} }$

1. Si $0 < L < \infty \implies R = \frac{1}{L}$

2. Si $L = 0 \implies R = \infty$

3. Si $L = \infty \implies R = 0$

Representación de funciones como series de potencias

Una serie de potencias $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x-a)^n}$ que converge en un intervalo $I$ es igual a una función $f(x)$ en ese intervalo:

Por ejemplo: