Series

Una serie es la suma de una sucesión de términos.

Dado \({a_n}\) una sucesión, si queremos sumar sus infinitos términos, definimos una serie. La serie de términos \({a_n}\) se denota:

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \]

Si tuviesemos el valor de la sucesión como por ejemplo, \({a_n} = \frac{1}{2^n}\), entonces la serie es:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \]

Convergencia y Divergencia

Para cada \(k \in \mathbb{N}\), definimos la k-ésima suma parcial de la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) como:

\[S_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_k \]

Donde \({S_k}\) es una sucesión de números reales.

Si su límite existe y es finito, es decir, si:

\[\lim_{k \to \infty} S_k = S < \infty \]

La serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n\) es convergente y \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n = S\).

De lo contrario, si su límite:

\[\lim_{k \to \infty} S_k = \pm\infty \]

La serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} a_n\) es divergente.

Ejemplos:

Determinar si las siguientes series divergen o convergen:

\[\sum_{n=1}^{\infty} n \]

Primero, determinamos las sumas parciales \(S_k\):

\[\begin{array}{l} S_1 = 1 \\ S_2 = 1 + 2 = 3 \\ S_3 = 1 + 2 + 3 = 6 \\ ... \\ S_k = 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2} \end{array} \]

Ahora con la fórmula de \(S_k\), determinamos el límite:

\[\lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} \frac{k(k+1)}{2} = \infty \]

\(\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} S_k = \infty \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \; n\) es divergente.

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \]

Primero, determinamos las sumas parciales \(S_k\):

\[\begin{array}{l} S_1 = \frac{1}{2} \\ S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ ... \\ S_k = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^k} \end{array} \]

Ahora con la fórmula de \(S_k\), determinamos el límite:

\[\lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} 1 - \frac{1}{2^k} = 1 \]

\(\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} S_k = 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{2^n}\) es convergente y \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{2^n} = 1\).

Series Geométricas

Dado \(r \in \mathbb{R}\), una serie geométrica es una serie de la forma \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} \; r^{n}\)

Teorema de la Serie Geométrica

1. Si \(|r| < 1\), entonces \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} \; r^{n}\) es convergente y \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} r^{n} = \frac{1}{1-r}\).

2. Si \(|r| \geq 1\), entonces \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} \; r^{n}\) es divergente.

Ejemplos:

Determina si las siguientes series geométricas convergen o divergen y en caso de converger, determina su valor:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n \implies r = \frac{1}{2} \] \[|\frac{1}{2}| < 1 \]

Por el teorema, \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}\) converge y se cumple que:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

\[\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \implies r = 2 \] \[|2| \geq 1 \]

Por el teorema, \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} 2^n}\) diverge.

Series Armónicas e Hiperarmónicas

Una serie armónica es una serie de la forma \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n}\)

Una serie hiperarmónica es una serie de la forma \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n^{p}}\)

\(p > 1 \implies\) la serie converge
\(p < 1 \implies\) la serie diverge
\(p = 1 \implies\) la serie es armónica

Propiedades de las Series

Sean \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) y \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) dos series convergentes y \(c \in \mathbb{R}\), entonces:

1. \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)}\) y \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c a_n}\) convergen
2. \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n)} = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} \pm \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\)
3. \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n} = c \cdot \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\)

Criterio de la divergencia

Si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge, entonces \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}\)
Si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es una serie tal que \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0} \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es divergente.

Criterio de comparación

Sean \(0 \leq a_n \leq b_n\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), entonces:

1. Si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) converge, entonces \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge.
2. Si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) diverge, entonces \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) diverge.

Criterio de comparación en el límite

Sean \(a_n, b_n \geq 0\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), entonces:

1. \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0} \implies \) Si \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge \(\iff \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) converge.
2. \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0} \implies \) Si \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) converge, \(\implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge.
3. \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty} \implies \) Si \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) diverge, \(\implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) diverge.

Criterio de la integral

Sea \(f: [1, \infty) \to \mathbb{R}\) una función decreciente y positiva, Si \(f(n) = a_n\):

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge \(\iff \displaystyle{\int_{1}^{\infty} f(x)dx}\) converge.

Serie alternante

Una serie alternante es una serie en la que sus términos son \(+\) y \(-\) alternados.

Por ejemplo:

\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots \]

Criterio de comparación (Serie alternante)

Si \(a_n \geq a_{n+1} > 0 \; \forall n \;\land\; \displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}\), entonces la serie alternante \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \; a_n}\) converge
(igual para \(a_{n+1}\))

Convergencia absoluta y condicional

Una serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es absolutamente convergente si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|}\) converge.

Una serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es condicionalmente convergente si \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) converge pero \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|}\) diverge.

Criterio del cociente

Sea \(a_n \neq 0 \; \forall n \in \mathbb{N}\) y \(r = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}\) :

1. Si \(r < 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es absolutamente convergente.

2. Si \(r > 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es divergente.

3. Si \(r = 1 \implies\) el criterio no es concluyente.

Criterio de la raíz

Dada la serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} \; , \; r = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\):

1. Si \(r < 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es absolutamente convergente.

2. Si \(r > 1 \implies \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) es divergente.

3. Si \(r = 1 \implies\) el criterio no es concluyente.

Series de potencias

Definimos una serie de potencias centrada en \(a\) : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x - a)^n}\;,\;a \in \mathbb{R}\)

Sea \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x - a)^n}\), se cumple una de las siguientes:

1. La serie converge solo para \(x = a\)

2. La serie converge absolutamente para todo \(x \in \mathbb{R}\)

3. \(\exists R > 0\) tal que la serie converge absolutamente \(\forall x \iff |x - a| < R\), y diverge \(\forall x \iff |x - a| > R\)

Radio de convergencia

En base a lo definido anteriormente:

1. La serie tiene radio de convergencia \(R = 0\) si solo converge para \(x = a\)

2. La serie tiene radio de convergencia \(R = \infty\) si converge \(\forall x \in \mathbb{R}\)

3. Si ocurre el caso 3 anterior, el radio de convergencia es \(R\)

Intervalo de convergencia

Llamamos intervalo de convergencia al conjunto de todos los valores de \(x\) para los cuales la serie converge.

\[I = \{ \;x \in \mathbb{R} \; : \; \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x - a)^n} \textnormal{ converge } \} \]

1. \(R = 0 \implies I = \{a\}\)

2. \(R = \infty \implies I = \mathbb{R}\)

3. \(R > 0 \implies I = (a - R, a + R) \lor (a - R, a + R] \lor [a - R, a + R) \lor [a - R, a + R]\)

Ejemplo:

Dada la serie \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \; x^n}\), determina su radio e intervalo de convergencia.

Si \(x = 1\) tenemos la serie armónica \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}\) la cual diverge. Luego, \(R \leq 1\)
Si \(x = -1\) tenemos la serie alternante \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}}\) la cual converge. Luego, \(R \geq 1\)

Por lo tanto, \(R = 1\) y \(I = (-1, 1]\)

Criterio del cociente para series de potencias

Dada la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x-a)^n}\):

\(L = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} }\)

1. Si \(0 < L < \infty \implies R = \frac{1}{L}\)

2. Si \(L = 0 \implies R = \infty\)

3. Si \(L = \infty \implies R = 0\)

Representación de funciones como series de potencias

Una serie de potencias \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} c_n \; (x-a)^n}\) que converge en un intervalo \(I\) es igual a una función \(f(x)\) en ese intervalo:

Por ejemplo:

\[\frac{1}{1-x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} x^n} \;,\; |x| < 1 \]