Introducción (ALG)

En Álgebra, se estudian estructuras algebraicas que involucran espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Algunos temas son la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, matrices, determinantes y espacios vectoriales, funciones lineales, entre otros.

Los principales problemas en los que esta materia se enfoca son:

Resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
Caracterizar el conjunto de soluciones como subconjunto de $\mathbb{R}^n$ (espacios vectoriales)

Los vectores y sus propiedades serán temas centrales en esta materia, para seguir, es útil repasar la siguiente sección: Cálculo Vectorial (AM2)

Anillos y cuerpos

Un anillo es un conjunto $R$ con dos operaciones $(+) \Rightarrow R + R, \; (\cdot) \Rightarrow R \times R$ que simplifican las siguientes propiedades (donde $a, b, c \in R$ ):

P1) $a+b, \; a \cdot b \in R$
P2) Conmutatividad: $a+b=b+a,\;ab=ba$
P3) Asociatividad: $(a+b)+c = a+(b+c),\; (a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
P4) Elemento Neutro: $a + 0 = a,\; a \cdot 1 = a$
P5) Distributividad: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
P6) Inverso aditivo: $a + (-a) = 0$

Un anillo $R$ es conmutativo cuando la multiplicación cumple la propiedad conmutativa: $a \cdot b = b \cdot a$

Un cuerpo $\KK$ es un anillo conmutativo donde todo elemento $a \in \KK, \; a \not= 0$ tiene inverso multiplicativo,
es decir $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} = 1$

Números complejos

Los números complejos es el conjunto $\CC$ de los pares ordenados $(a, b)$ denotados $a + ib, \; a, b \in \RR$ con operaciones $(+) \; (\cdot)$ definidas.

\begin{aligned} (a + ib) + (c + id) &= (a + c) + i(b + d) \\ (a + ib) \cdot (c + id) &= (ac - bd) + i(b + d) \\ \end{aligned}

Se define el conjugado de $a + bi$ como $\overline{a + bi} = a - bi$

La norma $||a + bi|| = \sqrt{a^2 + b^2} \in \RR \geq 0$

Combinación lineal

Sean $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$ vectores en $\mathbb{R}^n$ y sean $r_1, \ldots, r_k \in \mathbb{R}$ la combinación lineal de los vectores es:
$r_1\mathbf{v}_1 + \ldots + r_k\mathbf{v}_k$

Un ejemplo de combinación lineal es la siguiente suma de vectores en $\mathbb{R}^3$ :

5(1, 2, 3) + 3(4, 5, 6) = (5, 10, 15) + (12, 15, 18) = (17, 25, 33)

Donde $(17, 25, 33)$ es combinación lineal de los vectores $(1, 2, 3)$ y $(4, 5, 6)$ .

Vectores canónicos y base canónica

Se denota por $\; \mathbf{e}_i, \; 1 \leq i \leq n$ a los vectores canónicos de $\mathbb{R}^n$ donde solo hay una coordenada $i = 1$ y el resto son nulos.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ los vectores canónicos son:

\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) \quad \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) \quad \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)

El conjunto dado por $\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ es llamado base canónica de $\mathbb{R}^n$ .

Todo vector de $\mathbb{R}^n$ se puede expresar como combinación lineal de la base canónica tal que:

(x_1, \ldots, x_n) = x_1\mathbf{e}_1 + \ldots + x_n\mathbf{e}_n

Por ejemplo, el vector $(2, 3, 4)$ se puede expresar como:

\begin{aligned} (2, 3, 4) &= 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) \\ &= 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) \\ &= \mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 + 4\mathbf{e}_3 \end{aligned}