Introducción (ALG)

En Álgebra, se estudian estructuras algebraicas que involucran espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Algunos temas son la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, matrices, determinantes y espacios vectoriales, funciones lineales, entre otros.

Los principales problemas en los que esta materia se enfoca son:

Resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
Caracterizar el conjunto de soluciones como subconjunto de $\mathbb{R}^n$ (espacios vectoriales)

Los vectores y sus propiedades serán temas centrales en esta materia, para seguir, es útil repasar la siguiente sección: Cálculo Vectorial (AM2)

Relación de equivalencia

Una relación de equivalencia en un conjunto no vacío $A$ es una relación binaria $\sim$ que satisface:

P1) Reflexividad: $\forall a \in A$ se cumple $a \sim a$
P2) Simetría: $\forall a, b \in A$ se cumple $a \sim b \implies b \sim a$
P3) Transitividad: $\forall a, b, c \in A$ , si $\;a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c$

La congruencia módulo $n$ es una relación de equivalencia.

Ejemplo: Determinar si la relación $R$ definida en el conjunto de los $\ZZ$ como $aRb \iff a+b$ es par, es una relación de equivalencia.

Reflexividad: $aRa \implies a + a$ es par: $a + a = 2a$
Simetría: $aRb \implies bRa$ : Si $a + b$ es par, entonces $b + a$ es par: $a + b = b + a$ por conmutatividad.
Transitividad: Si $aRb$ y $bRc$ , entonces $a + b$ y $b + c$ son pares:

\begin{aligned} 2m = (a + b), \; 2k = (b + c) \\ 2m + 2k = (a + b) + (b + c) \\ 2(m + k) = a + 2b + c \\ 2(m + k - b) = a + c \\ \end{aligned}

Las propiedades se cumplen, por lo que $R$ es una relación de equivalencia.

Clases de equivalencia

Sea $\sim$ una relación de equivalencia en un conjunto $A$ . $\forall a \in A$ , la clase de equivalencia de $a$ , denotada por $[a]$ , es el subconjunto de $A$ que contiene a todos los elementos que están relacionados con $a$ :

[a] = \{ b \in A \mid b \sim a \}

El conjunto de todas las clases de equivalencia de $A$ con respecto a la relación $\sim$ es el conjunto cociente, denotado como $A / \sim$

El conjunto $\ZZ_n$

Dados $n > 1$ y $\equiv$ la relación de congruencia módulo $n$ , se define $\ZZ_n = \ZZ / \equiv$ .
Es decir, el conjunto de clases de equivalencia de $\ZZ$ módulo $n$ . Dado $a \in \ZZ$ su clase de equivalencia es:

[a] = \{ b \in \ZZ \mid b \equiv a \;(\textnormal{mod}\;n) \}

El conjunto $\ZZ_n$ tiene $n$ elementos y se puede escribir como: $\ZZ_n = \{[0], [1], [2], \ldots, [n - 1] \}$

Ejemplo: En $\ZZ_5$ , la clase $[2]$ es el conjunto de todos los enteros que al dividirse por $5$ dan resto $2$ :
$[2] = \{\ldots, -8, -3, 2, 7, 12, \ldots \}$

Operación y grupo

Sea $A$ un conjunto no vacío: una operación de $A$ es una función $*: A \times A \rightarrow A$

$*$ se dice asociativa si $(a * b) * c = a * (b * c), \; \forall a, b, c \in A$ .
Si $*$ tiene elemento neutro $e$ , todo elemento tiene inverso si: $\forall a \in A, \; \exists a' \in A: a * a' = a' * a = e$ .
$*$ tiene elemento neutro si $\exists e \in A$ tal que $e * a = a * e = a, \; \forall a \in A$ .
$*$ es conmutativa si $a * b = b * a, \; \forall a, b \in A$ .

Sea $A$ un conjunto y $*$ una operación de $A$ que satisface (1), (2) y (3) de la definción anterior, entonces $(A, *)$ es un grupo. Si además $*$ satisface (4), entonces $(A, *)$ es un grupo abeliano.

Anillo y cuerpo

Un anillo (conmutativo con identidad) es un conjunto $R$ con dos operaciones $(+) \Rightarrow R + R, \; (\cdot) \Rightarrow R \times R$ que simplifican las siguientes propiedades (donde $a, b, c \in R$ ):

P1) $a+b, \; a \cdot b \in R$
P2) Conmutatividad: $a+b=b+a,\;ab=ba$
P3) Asociatividad: $(a+b)+c = a+(b+c),\; (a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
P4) Elemento Neutro: $a + 0 = a,\; a \cdot 1 = a$
P5) Distributividad: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
P6) Inverso aditivo: $a + (-a) = 0$

Un anillo $R$ es conmutativo cuando la multiplicación cumple la propiedad conmutativa: $a \cdot b = b \cdot a$

Un anillo conmutativo es un dominio de integridad si cumple la propiedad: $a \cdot b = 0 \implies a = 0 \; \lor \; b = 0$

Un cuerpo $\KK$ es un anillo conmutativo donde $\forall a \in \KK, \; a \not= 0$ tiene inverso multiplicativo,
es decir $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} = 1$

Operaciones en $\ZZ_n$

Suma: $[a] + [b] = [a + b]$
Multiplicación: $[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$

Ejercicios resueltos - Clases de equivalencia

Dar el resultado de $[4]_7 + [6]_7$ :

[4]_7 + [6]_7 = [4+6]_7 = [10]_7 = [3]_7

Dar el resultado de $[3]_9 \cdot [5]_9$ :

[3]_9 \cdot [5]_9 = [3 \cdot 5]_9 = [15]_9 = [6]_9

Encontrar un entero positivo a tal que $[a]_{15}$ sea el opuesto aditivo de $[2]_{15}$ :

Necesitamos encontrar un entero positivo tal que: $[2]15 + [a]15 = [0]_15.

Ese entero es $13$ , ya que: $[2]_{15} + [13]_{15} = [15]_{15} = [0]_{15}$

Ejercicios resueltos - Cuerpos

Probar que $\forall a \in \KK$ se cumple $a \cdot 0 = 0$

\begin{aligned} 0 + 0 &= 0 \\ a \cdot (0 + 0) &= a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + a \cdot 0 &= a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + a \cdot 0 - a \cdot 0 &= a \cdot 0 - a \cdot 0 \\ a \cdot 0 &= 0 \end{aligned}

Probar que si $a, b \in \KK$ donde $a \cdot b = 0 \implies a = 0 \; \lor \; b = 0$

\begin{aligned} a \cdot b = 0 \; &\lor \; a \cdot b = 0 \\ a^{-1} \cdot a \cdot b = 0 \; &\lor \; a \cdot b \cdot b^{-1} = 0 \\ 1 \cdot b = 0 \; &\lor \; 1 \cdot a = 0 \\ b = 0 \; &\lor \; a = 0 \end{aligned}

Probar que $Z_n$ es cuerpo $\iff n$ es primo:

Supongamos $n$ no es primo. Entonces dados $a, b$ donde $1 < a, b < n$

\begin{aligned} n &= a \cdot b \\ Z_n &= \{ \ldots, [a], [b], \ldots \} \end{aligned}

Entonces tenemos: $[a] \cdot [b] = [a \cdot b] = [n] = [0]$
Como $[a \cdot b] = 0$ , $[a] \; \lor \; [b]$ deben ser cero, lo cual, contradice nuestra definición inicial.

Probar que si $a \not= 0 \; \land \; a \cdot b = a \cdot c \implies b = c$

\begin{aligned} a \cdot b &= a \cdot c \\ a^{-1} \cdot a \cdot b &= a^{-1} \cdot a \cdot c \\ 1 \cdot b &= 1 \cdot c \\ b &= c \end{aligned}

Probar que si $\exists n \in \NN$ tal que $a^n = 0 \implies a = 0$

\begin{aligned} a^n &= 0 \\ a^{n - 1} \cdot a &= 0 \cdot a \\ a^{n - 2} \cdot a &= 0 \cdot a \\ &\ldots \\ a^1 &= 0 \\ a &= 0 \end{aligned}

Números complejos

Los números complejos es el conjunto $\CC$ de los pares ordenados $(a, b)$ denotados $a + ib, \; a, b \in \RR$ con operaciones $(+) \; (\cdot)$ definidas.

\begin{aligned} (a + ib) + (c + id) &= (a + c) + i(b + d) \\ (a + ib) \cdot (c + id) &= (ac - bd) + i(ad + bc) \\ \end{aligned}

Se define el conjugado de $a + bi$ como $\overline{a + bi} = a - bi$

La norma $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \in \RR \geq 0$

Las potencias de $i$ siguen el siguiente patrón:

\begin{aligned} i^1 &= i \\ i^2 &= -1 \\ i^3 &= -i \\ i^4 &= 1 \\ i^5 &= i \\ &\ldots \end{aligned}

Ejercicios resueltos - Números complejos

Dar el resultado de $\overline{\overline{z}} = z$ :

\begin{aligned} \overline{\overline{z}} &= z \\ \overline{a - ib} &= a + ib \\ a + ib &= a + ib \end{aligned}

Demostrar que $\overline{z_1+z+2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ :

\begin{aligned} \overline{z_1+z_2} &= \overline{z_1} + \overline{z_2} \\ \overline{(a + ib) + (c + id)} &= (a - ib) + (c - id) \\ a - ib + c - id &= a - ib + c - id \\ a + c - i(b + d) &= a + c - i(b +d) \end{aligned}

Demostrar que $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_1}$ :

\begin{aligned} \overline{z_1 \cdot z_2} &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \\ \overline{(a + ib) \cdot (c + id)} &= (a - ib) \cdot (c - id) \\ \overline{(ac - bd) + i(ad + bc)} &= ac - iad - ibc + i^2bd \\ (ac - bd) - i(ad + bc) &= (ac - bd) - i(ad + bc) \end{aligned}

Demostrar que $z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ si $z \not= 0$

\begin{aligned} z \cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2} &= 1 \\ \frac{\overline{z}z}{a^2 + b^2} &= 1 \\ \frac{(a - bi)(a + bi)}{a^2 + b^2} &=1 \\ \frac{a^2 - b^2i^2}{a^2 + b^2} &= 1 \\ \frac{a^2 - b^2 \cdot (-1)}{a^2 + b^2} &= 1 \\ \cancel{\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2}} &= 1 \\ 1 &= 1 \end{aligned}

Expresar el siguiente número en la forma $a + ib$ : $(i^{131} - i^9 + 1)$

i^{131} - i^9 + 1 = i^{32 \cdot 4 + 3} - i^9 + 1 = (i^4)^{32} \cdot i^3 - i^9 + 1 = 1 \cdot (-i) - i + 1 = 1 - 2i

\begin{aligned} 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{i}} &= 1 - \frac{1}{1 - i} \\ &= 1 - \frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} \\ &= 1 - \frac{1 + i}{1 - i^2} \\ &= 1 - \frac{1 + i}{1 - (-1)} \\ &= 1 - \frac{1 + i}{2} \\ &= \frac{2}{2} - \frac{1 + i}{2} \\ &= \frac{1 - i}{2} \end{aligned}