Introducción (ALG)

En Álgebra, se estudian estructuras algebraicas que involucran espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Algunos temas son la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, matrices, determinantes y espacios vectoriales, funciones lineales, entre otros.

Los principales problemas en los que esta materia se enfoca son:

Resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
Caracterizar el conjunto de soluciones como subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) (espacios vectoriales)

Los vectores y sus propiedades serán temas centrales en esta materia, para seguir, recomendamos repasar la siguiente sección: Cálculo Vectorial (AM2)

Anillos y cuerpos

Un anillo es un conjunto \(R\) con dos operaciones \((+) \Rightarrow R + R, \; (\cdot) \Rightarrow R \times R\) que simplifican las siguientes propiedades (donde \(a, b, c \in R\)):

P1) \(a+b, \; a \cdot b \in R\)
P2) Conmutatividad: \(a+b=b+a,\;ab=ba\)
P3) Asociatividad: \((a+b)+c = a+(b+c),\; (a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
P4) Elemento Neutro: \(a + 0 = a,\; a \cdot 1 = a\)
P5) Distributividad: \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)
P6) Inverso aditivo: \(a + (-a) = 0\)

Un anillo \(R\) es conmutativo cuando la multiplicación cumple la propiedad conmutativa: \(a \cdot b = b \cdot a\)

Un cuerpo \(\KK\) es un anillo conmutativo donde todo elemento \(a \in \KK, \; a \neq 0\) tiene inverso multiplicativo,
es decir \(a^{-1}\) tal que \(a \cdot a^{-1} = 1\)

Números complejos

Los números complejos es el conjunto \(\CC\) de los pares ordenados \((a, b)\) denotados \(a + ib, \; a, b \in \RR\) con operaciones \((+) \; (\cdot)\) definidas.

\[\begin{align} (a + ib) + (c + id) &= (a + c) + i(b + d) \\ (a + ib) \cdot (c + id) &= (ac - bd) + i(b + d) \\ \end{align} \]

Se define el conjugado de \(a + bi\) como \(\overline{a + bi} = a - bi\)

La norma \(||a + bi|| = \sqrt{a^2 + b^2} \in \RR \geq 0\)

Combinación lineal

Sean \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) vectores en \(\mathbb{R}^n\) y sean \(r_1, \ldots, r_k \in \mathbb{R}\) la combinación lineal de los vectores es:
\(r_1\mathbf{v}_1 + \ldots + r_k\mathbf{v}_k\)

Un ejemplo de combinación lineal es la siguiente suma de vectores en \(\mathbb{R}^3\):

\[5(1, 2, 3) + 3(4, 5, 6) = (5, 10, 15) + (12, 15, 18) = (17, 25, 33) \]

Donde \((17, 25, 33)\) es combinación lineal de los vectores \((1, 2, 3)\) y \((4, 5, 6)\).

Vectores canónicos y base canónica

Se denota por \(\; \mathbf{e}_i, \; 1 \leq i \leq n\) a los vectores canónicos de \(\mathbb{R}^n\) donde solo hay una coordenada \(i = 1\) y el resto son nulos.

Por ejemplo, en \(\mathbb{R}^3\) los vectores canónicos son:

\[\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) \quad \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) \quad \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1) \]

El conjunto dado por \(\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) es llamado base canónica de \(\mathbb{R}^n\).

Todo vector de \(\mathbb{R}^n\) se puede expresar como combinación lineal de la base canónica tal que:

\[(x_1, \ldots, x_n) = x_1\mathbf{e}_1 + \ldots + x_n\mathbf{e}_n \]

Por ejemplo, el vector \((2, 3, 4)\) se puede expresar como:

\[\begin{align*} (2, 3, 4) &= 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) \\ &= 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) \\ &= \mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 + 4\mathbf{e}_3 \end{align*} \]