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ÁlgebraEspacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial requiere dos conjuntos:

  1. Un conjunto de vectores VV.
  2. Un conjunto de escalares K\KK.

Sea (K,+,⋅)(\KK, +, \cdot) un cuerpo. Sea VV un conjunto no vacío, sea ++ una operación en VV y ⋅\cdot una acción de K\KK en VV.
Se dice que (V,+,⋅)(V, +, \cdot) es un K\KK-espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades:

  • P1) (V,+)(V, +) es un grupo abeliano.
  • P2) La acción ⋅:K×V→V\cdot : \KK \times V \to V cumple:
    • 1) Distributividad sobre vectores: a⋅(v+w)=a⋅v+a⋅w∀a∈K;  ∀v,w∈V\quad a \cdot (\bfv + \bfw) = a \cdot \bfv + a \cdot \bfw \quad \forall a \in \KK; \; \forall \bfv, \bfw \in V
    • 2) Distributividad sobre escalares: (a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v∀a,b∈K;  ∀v∈V\quad (a + b) \cdot \bfv = a \cdot \bfv + b \cdot \bfv \quad \forall a, b \in \KK; \; \forall \bfv \in V
    • 3) Elemento neutro: 1⋅v=v∀v∈V\quad 1 \cdot \bfv = \bfv \quad \forall \bfv \in V
    • 4) Asociatividad: (a⋅b)⋅v=a⋅(b⋅v)∀a,b∈K;  ∀v∈V\quad (a \cdot b) \cdot \bfv = a \cdot (b \cdot \bfv) \quad \forall a, b \in \KK; \; \forall \bfv \in V

La acción ⋅\cdot se llama producto por escalares.

Ejercicios resueltos - Espacios vectoriales

Sea (V,+,⋅)(V, +, \cdot) un K\KK-espacio vectorial probar que:

1.

Sea −1-1 el opuesto aditivo de 11 en K\KK para todo v∈V\bfv \in V, se cumple que v⋅(−1)=−v\bfv \cdot (-1) = -\bfv.

v=vv⋅1=vv⋅1+(−v)=v+(−v)v⋅1+(−v)=0v⋅1−v=0v⋅(1−1)=0v⋅(1−1)+(−v)=0+(−v)v⋅(1−1−1)=−vv⋅(−1)=−v\begin{aligned} \bfv &= \bfv \\ \bfv \cdot 1 &= \bfv \\ \bfv \cdot 1 + (-\bfv) &= \bfv + (-\bfv) \\ \bfv \cdot 1 + (-\bfv) &= 0 \\ \bfv \cdot 1 - \bfv &= 0 \\ \bfv \cdot (1 - 1) &= 0 \\ \bfv \cdot (1 - 1) + (-\bfv) &= 0 + (-\bfv) \\ \bfv \cdot (1 - 1 - 1) &= -\bfv \\ \bfv \cdot (-1) &= -\bfv \end{aligned}

2.

Dados v1,v2∈V\bfv_1, \bfv_2 \in V se cumple −(v1+v2)=−v1−v2-(\bfv_1 + \bfv_2) = -\bfv_1 - \bfv_2

v1+v2=v1+v2(v1+v2)+(−(v1+v2))=0v1+v2−(v1+v2)=0v1+v2−(v1+v2)−v1−v2=−v1−v2−(v1+v2)=−v1−v2\begin{aligned} \bfv_1 + \bfv_2 &= \bfv_1 + \bfv_2 \\ (\bfv_1 + \bfv_2) + (-(\bfv_1 + \bfv_2)) &= 0 \\ \bfv_1 + \bfv_2 - (\bfv_1 + \bfv_2) &= 0 \\ \bfv_1 + \bfv_2 - (\bfv_1 + \bfv_2) - \bfv_1 - \bfv_2 &= -\bfv_1 - \bfv_2 \\ -(\bfv_1 + \bfv_2) &= -\bfv_1 - \bfv_2 \end{aligned}

3.

Si a∈K,v∈V  ⟹  −(a⋅v)=(−a)⋅v=a⋅(−v)a \in \KK, \bfv \in V \implies -(a \cdot \bfv) = (-a) \cdot \bfv = a \cdot (-\bfv)

a⋅v=a⋅va⋅v⋅(−1)=a⋅v⋅(−1)(a⋅v)⋅(−1)=a⋅v⋅(−1)−(a⋅v)=a⋅v⋅(−1)\begin{aligned} a \cdot \bfv &= a \cdot \bfv \\ a \cdot \bfv \cdot (-1) &= a \cdot \bfv \cdot (-1) \\ (a \cdot \bfv) \cdot (-1) &= a \cdot \bfv \cdot (-1) \\ -(a \cdot \bfv) &= a \cdot \bfv \cdot (-1) \end{aligned}

Por conmutatividad, a⋅v⋅(−1)=(−a)⋅v=a⋅(−v)a \cdot \bfv \cdot (-1) = (-a) \cdot \bfv = a \cdot (-\bfv).

4.

Si vchar"338=0∧a1⋅v=a2⋅v  ⟹  a1=a2\bfv \not= 0 \land a_1 \cdot \bfv = a_2 \cdot \bfv \implies a_1 = a_2

a1⋅v=a2⋅va1⋅v−a2⋅v=0(a1−a2)⋅v=0\begin{aligned} a_1 \cdot \bfv &= a_2 \cdot \bfv \\ a_1 \cdot \bfv - a_2 \cdot \bfv &= 0 \\ (a_1 - a_2) \cdot \bfv &= 0 \end{aligned}

Sabemos que vchar"338=0\bfv \not= 0, por lo tanto:

a1−a2=0a1=a2\begin{aligned} a_1 - a_2 &= 0 \\ a_1 &= a_2 \end{aligned}

Sea (V,+,⋅)(V, +, \cdot) un espacio vectorial sobre un cuerpo K\KK. Sean a,a1,a2∈Ka, a_1, a_2 \in \KK y v,v1,v2∈V\bfv, \bfv_1, \bfv_2 \in V. Probar los siguientes:

5.

Si a⋅v=0a \cdot \bfv = 0 entonces a=0a = 0 o v=0\bfv = 0:

Esto es válido para aa, ya que sabemos que: a,b∈Ka, b \in \KK donde a⋅b=0  ⟹  a=0  ∨  b=0a \cdot b = 0 \implies a = 0 \; \lor \; b = 0.

Quedar probar para v\bfv:

a⋅v=0a−1⋅a⋅v=0⋅a−11⋅v=0v=0\begin{aligned} a \cdot \bfv &= 0 \\ a^{-1} \cdot a \cdot \bfv &= 0 \cdot a^{-1} \\ 1 \cdot \bfv &= 0 \\ \bfv &= 0 \end{aligned}

6.

Si achar"338=0∧a⋅v1=a⋅v2  ⟹  v1=v2a \not= 0 \land a \cdot \bfv_1 = a \cdot \bfv_2 \implies \bfv_1 = \bfv_2:

a⋅v1=a⋅v2a−1⋅a⋅v1=a−1⋅a⋅v21⋅v1=1⋅v2v1=v2\begin{aligned} a \cdot \bfv_1 &= a \cdot \bfv_2 \\ a^{-1} \cdot a \cdot \bfv_1 &= a^{-1} \cdot a \cdot \bfv_2 \\ 1 \cdot \bfv_1 &= 1 \cdot \bfv_2 \\ \bfv_1 &= \bfv_2 \end{aligned}

7.

Sean (K,+,⋅)(\KK, +, \cdot) un cuerpo y nn un número natural. Consideramos el conjunto:

Kn=(x1,…,xn):x1,…,xn∈K.\KK^n = {(x_1, \ldots, x_n): x_1, \ldots, x_n \in \KK}.

Usando las operaciones de K\KK, definimos:

+:Kn×Kn→Kn((x1,…,xn),(y1,…,yn))↦(x1+y1,…,xn+yn)⋅:K×Kn→Kn(a,(x1,…,xn))↦(a⋅x1,…,a⋅xn)\begin{aligned} + : \KK^n \times \KK^n &\to \KK^n \quad ((x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n)) \mapsto (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \\ \cdot : \KK \times \KK^n &\to \KK^n \quad (a, (x_1, \ldots, x_n)) \mapsto (a \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n) \end{aligned}

Verificiar que (Kn,+,⋅)(\KK^n, +, \cdot) es un espacio vectorial:

Primero comprobamos si es un grupo abeliano:

v+w=w+v(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(y1,…,yn)+(x1,…,xn)=(x1+y1,…,xn+yn)v+0=v(x1,…,xn)+(0,…,0)=(x1+0,…,xn+0)=(x1,…,xn)v+(−v)=0(x1,…,xn)+(−(x1,…,xn))=0(x1,…,xn)+(−x1,…,−xn)=(x1−x1,…,xn−xn)=0(v+w)+z=v+(w+z)((x1,…,xn)+(y1,…,yn))+(z1,…,zn)=(x1,…,xn)+((y1,…,yn)+(z1,…,zn))(x1+y1,…,xn+yn)+(z1,…,zn)=(x1,…,xn)+(y1+z1,…,yn+zn)((x1+y1)+z1,…,(xn+yn)+zn)=(x1+(y1+z1),…,xn+(yn+zn))(x1+y1+z1,…,xn+yn+zn)=(x1+y1+z1,…,xn+yn+zn)\begin{aligned} \bfv + \bfw &= \bfw + \bfv \\ (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) &= (y_1, \ldots, y_n) + (x_1, \ldots, x_n) = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \\ \\ \bfv + 0 &= \bfv \\ (x_1, \ldots, x_n) + (0, \ldots, 0) &= (x_1 + 0, \ldots, x_n + 0) = (x_1, \ldots, x_n) \\ \\ \bfv + (-\bfv) &= 0 \\ (x_1, \ldots, x_n) + (-(x_1, \ldots, x_n)) &= 0 \\ (x_1, \ldots, x_n) + (-x_1, \ldots, -x_n) &= (x_1 - x_1, \ldots, x_n - x_n) = 0 \\ \\ (\bfv + \bfw) + \mathbf{z} &= \bfv + (\bfw + \mathbf{z}) \\ ((x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n)) + (z_1, \ldots, z_n) &= (x_1, \ldots, x_n) + ((y_1, \ldots, y_n) + (z_1, \ldots, z_n)) \\ (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) + (z_1, \ldots, z_n) &= (x_1, \ldots, x_n) + (y_1 + z_1, \ldots, y_n + z_n) \\ ((x_1 + y_1) + z_1, \ldots, (x_n + y_n) + z_n) &= (x_1 + (y_1 + z_1), \ldots, x_n + (y_n + z_n)) \\ (x_1 + y_1 + z_1, \ldots, x_n + y_n + z_n) &= (x_1 + y_1 + z_1, \ldots, x_n + y_n + z_n) \end{aligned}

Es un grupo abeliano. Comprobamos las propiedades de la acción ⋅\cdot

(a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v(a+b)⋅(x1,…,xn)=a⋅(x1,…,xn)+b⋅(x1,…,xn)((a+b)⋅x1,…,(a+b)⋅xn)=(a⋅(x1,…,xn)+b⋅(x1,…,xn))(a⋅x1+b⋅x1,…,a⋅xn+b⋅xn)=(a⋅x1,…,a⋅xn)+(b⋅x1,…,b⋅xn)(a⋅x1+b⋅x1,…,a⋅xn+b⋅xn)=(a⋅x1+b⋅x1,…,a⋅xn+b⋅xn)v⋅1=v(x1,…,xn)⋅1=(x1⋅1,…,xn⋅1)=(x1,…,xn)a⋅(v+w)=a⋅v+a⋅wa⋅((x1,…,xn)+(y1,…,yn))=a⋅(x1,…,xn)+a⋅(y1,…,yn)(a⋅(x1,…,xn)+a⋅(y1,…,yn))=(a⋅x1,…,a⋅xn)+(a⋅y1,…,a⋅yn)(a⋅x1,…,a⋅xn)+(a⋅y1,…,a⋅yn)=(a⋅x1+a⋅y1,…,a⋅xn+a⋅yn)(a⋅x1+a⋅y1,…,a⋅xn+a⋅yn)=(a⋅(x1+y1),…,a⋅(xn+yn))(a⋅b)⋅v=a⋅(b⋅v)(a⋅b)⋅(x1,…,xn)=a⋅(b⋅(x1,…,xn))((a⋅b)⋅x1,…,(a⋅b)⋅xn)=a⋅(b⋅x1,…,b⋅xn)((a⋅b)⋅x1,…,(a⋅b)⋅xn)=(a⋅(b⋅x1),…,a⋅(b⋅xn))((a⋅b)⋅x1,…,(a⋅b)⋅xn)=((a⋅b)⋅x1,…,(a⋅b)⋅xn)\begin{aligned} (a + b) \cdot \bfv &= a \cdot \bfv + b \cdot \bfv \\ (a + b) \cdot (x_1, \ldots, x_n) &= a \cdot (x_1, \ldots, x_n) + b \cdot (x_1, \ldots, x_n) \\ ((a + b) \cdot x_1, \ldots, (a + b) \cdot x_n) &= (a \cdot (x_1, \ldots, x_n) + b \cdot (x_1, \ldots, x_n)) \\ (a \cdot x_1 + b \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n + b \cdot x_n) &= (a \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n) + (b \cdot x_1, \ldots, b \cdot x_n) \\ (a \cdot x_1 + b \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n + b \cdot x_n) &= (a \cdot x_1 + b \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n + b \cdot x_n) \\ \\ \bfv \cdot 1 &= \bfv \\ (x_1, \ldots, x_n) \cdot 1 &= (x_1 \cdot 1, \ldots, x_n \cdot 1) = (x_1, \ldots, x_n) \\ \\ a \cdot (\bfv + \bfw) &= a \cdot \bfv + a \cdot \bfw \\ a \cdot ((x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n)) &= a \cdot (x_1, \ldots, x_n) + a \cdot (y_1, \ldots, y_n) \\ (a \cdot (x_1, \ldots, x_n) + a \cdot (y_1, \ldots, y_n)) &= (a \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n) + (a \cdot y_1, \ldots, a \cdot y_n) \\ (a \cdot x_1, \ldots, a \cdot x_n) + (a \cdot y_1, \ldots, a \cdot y_n) &= (a \cdot x_1 + a \cdot y_1, \ldots, a \cdot x_n + a \cdot y_n) \\ (a \cdot x_1 + a \cdot y_1, \ldots, a \cdot x_n + a \cdot y_n) &= (a \cdot (x_1 + y_1), \ldots, a \cdot (x_n + y_n)) \\ \\ (a \cdot b) \cdot \bfv &= a \cdot (b \cdot \bfv) \\ (a \cdot b) \cdot (x_1, \ldots, x_n) &= a \cdot (b \cdot (x_1, \ldots, x_n)) \\ ((a \cdot b) \cdot x_1, \ldots, (a \cdot b) \cdot x_n) &= a \cdot (b \cdot x_1, \ldots, b \cdot x_n) \\ ((a \cdot b) \cdot x_1, \ldots, (a \cdot b) \cdot x_n) &= (a \cdot (b \cdot x_1), \ldots, a \cdot (b \cdot x_n)) \\ ((a \cdot b) \cdot x_1, \ldots, (a \cdot b) \cdot x_n) &= ((a \cdot b) \cdot x_1, \ldots, (a \cdot b) \cdot x_n) \end{aligned}

Decidir si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre R\RR con las operaciones definidas:

8.

Rn\RR^n con v1⊕v2=v1−v2\bfv_1 \oplus \bfv_2 = \bfv_1 - \bfv_2 y el producto usual.

v1⊕v2=v1−v2v1−v2=0  ⟺  v1=v2(x1,…,xn)⊕(0,…,0)=(x1−0,…,xn−0)=(x1,…,xn)(0,…,0)⊕(x1,…,xn)=(0−x1,…,0−xn)=(−x1,…,−xn)char"338=(x1,…,xn)\begin{aligned} \bfv_1 \oplus \bfv_2 &= \bfv_1 - \bfv_2 \\ \bfv_1 - \bfv_2 = 0 &\iff \bfv_1 = \bfv_2 \\ \\ (x_1, \ldots, x_n) \oplus (0, \ldots, 0) &= (x_1 - 0, \ldots, x_n - 0) = (x_1, \ldots, x_n) \\ \\ (0, \ldots, 0) \oplus (x_1, \ldots, x_n) &= (0 - x_1, \ldots, 0 - x_n) = (-x_1, \ldots, -x_n) \not= (x_1, \ldots, x_n) \end{aligned}

El elemento neutro no es bilateral para la operación, ∴\therefore no es grupo abeliano ni espacio vectorial.

9.

Rn\RR^n con la suma usual y a⊙v=−a⋅va \odot \bfv = -a \cdot \bfv

1⊙v=?v1⊙v=−1⋅v=−vchar"338=v\begin{aligned} 1 \odot \bfv &\stackrel{?}{=} \bfv \\ 1 \odot \bfv &= -1 \cdot \bfv = -\bfv \not= \bfv \end{aligned}

No se cumple la propiedad de elemento neutro, ∴\therefore no es un espacio vectorial.

10.

Probar que R\RR es un Q\QQ-espacio vectorial:

Definimos las operaciones (+),(⋅)(+), (\cdot),

+:R×R→R⋅:Q×R→R\begin{aligned} + : \RR \times \RR &\to \RR \\ \cdot : \QQ \times \RR &\to \RR \end{aligned}

Comprobamos si (R,+)(\RR, +) es grupo abeliano. Para x,y,z,0∈Rx, y, z, 0 \in \RR:

x+(−x)=0x+0=0x+y=y+x(x+y)+z=x+(y+z)\begin{aligned} x + (-x) &= 0 \\ \\ x + 0 &= 0 \\ \\ x + y &= y + x \\ \\ (x + y) + z &= x + (y + z) \end{aligned}

Si es grupo abeliano. Revisamos las propiedades de la operación ⋅\cdot, dados x,y∈R;p,q∈Qx, y \in \RR; p, q \in \QQ:

x⋅1=x(p+q)⋅x=p⋅x+q⋅xp⋅(x+y)=p⋅x+p⋅y(p⋅q)⋅x=p⋅(q⋅x)\begin{aligned} x \cdot 1 &= x \\ \\ (p + q) \cdot x &= p \cdot x + q \cdot x \\ \\ p \cdot (x + y) &= p \cdot x + p \cdot y \\ \\ (p \cdot q) \cdot x &= p \cdot (q \cdot x) \end{aligned}

Se cumplen las propiedades, por lo que R\RR es un espacio Q\QQ-vectorial.

Subespacios

Sea VV un K\KK-espacio vectorial. Un subconjunto S⊆VS \subseteq V no vacío se dice un subespacio de VV si la suma y el producto por escalares (de VV) son una operación y una acción en SS que lo convierten en un K\KK-espacio vectorial.

SS es un subespacio de VV solo si valen las siguientes condiciones:

  • P1) 0∈S0 \in S
  • P2) v,w∈S  ⟹  v+w∈S\bfv, \bfw \in S \implies \bfv + \bfw \in S
  • P3) λ∈K,  v∈S  ⟹  λ⋅v∈S\lambda \in \KK, \; \bfv \in S \implies \lambda \cdot \bfv \in S

Dados v1,…,vn∈V,S={α1v1+…+αnvn∣αi∈K,  1≤i≤n}\bfv_1, \ldots, \bfv_n \in V, S = \{ \alpha_1 \bfv_1 + \ldots + \alpha_n \bfv_n \mid \alpha_i \in \KK, \; 1 \leq i \leq n \} subespacio de VV.
SS es el subespacio generado por v1,…,vn\bfv_1, \ldots, \bfv_n y se denota S=  <v1,…,vn>S = \; < \bfv_1, \ldots, \bfv_n >.

Sea VV un K\KK-espacio vectorial, y S,TS, T subespacios de VV, entonces S∩TS \cap T es subespacio de VV.

Puede demostrarse como:

  1. 0∈S∩T0 \in S \cap T ya que 0∈S,0∈T0 \in S, 0 \in T.
  2. Dados v,w∈S∩T  ⟹  v,w∈S  ∧  v,w∈T\bfv, \bfw \in S \cap T \implies \bfv, \bfw \in S \; \land \; \bfv, \bfw \in T.
    Como S,TS, T son subespacios, v+w∈S  ∧  v+w∈T  ⟹  v+w∈S∩T\bfv + \bfw \in S \; \land \; \bfv + \bfw \in T \implies \bfv + \bfw \in S \cap T.
  3. Dados λ∈K,  v∈S∩T  ⟹  v∈S  ∧  v∈T\lambda \in \KK, \; \bfv \in S \cap T \implies \bfv \in S \; \land \; \bfv \in T
    Como S,TS, T son subespacios y λ∈K\lambda \in \KK: λ⋅v∈S  ∧  λ⋅v∈T  ⟹  λ⋅v∈S∩T\quad \lambda \cdot \bfv \in S \; \land \; \lambda \cdot \bfv \in T \implies \lambda \cdot \bfv \in S \cap T.

La intersección de cualquier familia de subespacios de un K\KK-espacio vectorial VV es un subespacio de VV.

Sea VV un K\KK-espacio vectorial, y S,TS, T subespacios de VV, entonces S∪TS \cup T no es necesariamente subespacio de VV.

Puede demostrarse como:

Dado V=R2V = \RR^2 si tenemos S=  <(1,0)>,  T=  <(0,1)>S = \; < (1, 0) >, \; T = \; < (0, 1) >, ambos (1,0),(0,1)∈S∪T(1, 0), (0, 1) \in S \cup T
pero (1,0)+(0,1)=(1,1)char"338∈S∪T(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \not\in S \cup T ya que (1,1)char"338∈S  ∧  (1,1)char"338∈T(1, 1) \not \in S \; \land \; (1, 1) \not \in T.

Ejercicios resueltos - Subespacios vectoriales

Dado n≥3n \geq 3 determinar cuales subconjuntos de Rn\RR^n son subespacios vectoriales.

1.

S={(x1,…,xn)∈Rn∣x1≥0}S = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \RR^n \mid x_1 \geq 0 \}
  1. 0∈S0 \in S, ya que 0≥00 \geq 0.
  2. Dados (x1,…,xn),(y1,…,yn)∈S(x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in S tenemos x1≥0  ∧  y1≥0  ⟹  x1+y1≥0x_1 \geq 0 \; \land \; y_1 \geq 0 \implies x_1 + y_1 \geq 0.
  3. Dados λ∈R,  (x1,…,xn)∈S,  \lambda \in \RR, \; (x_1, \ldots, x_n) \in S, \; si   λ≥0  ⟹  λ⋅x1≥0\; \lambda \geq 0 \implies \lambda \cdot x_1 \geq 0.
    Pero si λ<0  ⟹  −λ⋅x1<0\lambda < 0 \implies -\lambda \cdot x_1 < 0. Por lo tanto, SS no es un subespacio vectorial.

2.

P={(x1,…,xn)∈Rn∣x1+x2=0}P = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \RR^n \mid x_1 + x_2 = 0 \}
  1. 0∈P0 \in P ya que 0+0=00 + 0 = 0.
  2. Dados (x1,…,xn),(y1,…,yn)∈P(x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in P tenemos
    x1+y1=0  ∧  x2+y2=0  ⟹  (x1+y1)+(x2+y2)=0x_1 + y_1 = 0 \; \land \; x_2 + y_2 = 0 \implies (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0.
  3. Dados λ∈R,  (x1,…,xn)∈P\lambda \in \RR, \; (x_1, \ldots, x_n) \in P tenemos x1+x2=0  ⟹  λ⋅0=0x_1 + x_2 = 0 \implies \lambda \cdot 0 = 0.

PP si es un subespacio vectorial.

3.

H={(x1,…,xn)∈Rn∣x1x2=0}H = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \RR^n \mid x_1x_2 = 0 \}
  1. 0∈H0 \in H ya que 0⋅0=00 \cdot 0 = 0.
  2. Dados (x1,…,xn),(y1,…,yn)∈H(x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in H tenemos (x1+y1)(x2+y2)=0(x_1 + y_1)(x_2 + y_2) = 0. Pero esto no se cumple necesariamente. Ejemplo: (1,0)+(0,1)=(1,1)  ⟹  1⋅1char"338=0(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \implies 1 \cdot 1 \not= 0. HH no es un subespacio vectorial.

4.

I={(x1,…,xn)∈Rn∣x1+x2=1}I = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \RR^n \mid x_1 + x_2 = 1 \}
  1. No se cumple que 0∈I0 \in I. Ya que 0+0char"338=10 + 0 \not= 1. Por ende, II no es un subespacio vectorial.

5.

Sean W1,W2W_1, W_2 subespacios de un K\KK-espacio vectorial VV.
Probar que si W1∪W2W_1 \cup W_2 es un subespacio de V  ⟹  W1⊂W2∨W2⊂W1V \implies W_1 \subset W_2 \lor W_2 \subset W_1:

Podemos demostrarlo por contradicción, es decir, W1char"338⊂W2∧W2char"338⊂W1W_1 \not\subset W_2 \land W_2 \not\subset W_1.

Sean w1∈W1,  w1char"338∈W2,  w2∈W2,  w2char"338∈W1\bfw_1 \in W_1, \; \bfw_1 \not\in W_2, \; \bfw_2 \in W_2, \; \bfw_2 \not\in W_1.
Tenemos que w1+w2∈W1∪W2\bfw_1 + \bfw_2 \in W_1 \cup W_2. La unión nos dice que: w1+w2∈W1  ∨  w1+w2∈W2\bfw_1 + \bfw_2 \in W_1 \; \lor \; \bfw_1 + \bfw_2 \in W_2.

Si restamos w1\bfw_1 del lado izquierdo y w2\bfw_2 del lado derecho, obtenemos:

w2∈W1∨w1∈W2.\bfw_2 \in W_1 \lor \bfw_1 \in W_2.

Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción.

Combinación lineal

Sea VV un K\KK-espacio vectorial y G={v1,…,vr}⊆VG = \{ \bfv_1, \ldots, \bfv_r \} \subseteq V. Una combinación lineal de GG es un elemento v∈V\bfv \in V tal que v=∑i=1raivi\bfv = \displaystyle{\sum_{i=1}^r} a_i \bfv_i con ai∈Ka_i \in \KK para cada 1≤i≤r1 \leq i \leq r.

Un ejemplo de combinación lineal es la siguiente suma de vectores en R3\mathbb{R}^3:

5(1,2,3)+3(4,5,6)=(5,10,15)+(12,15,18)=(17,25,33)5(1, 2, 3) + 3(4, 5, 6) = (5, 10, 15) + (12, 15, 18) = (17, 25, 33)

Donde (17,25,33)(17, 25, 33) es combinación lineal de los vectores (1,2,3)(1, 2, 3) y (4,5,6)(4, 5, 6).

Sistema de generadores

Sea VV un K\KK-espacio vectorial y G⊆VG \subseteq V, entonces GG es un sistema de generadores de VV si todo elemento de VV es combinación lineal de G    (<G>  =V)G \;\; ( <G> \; = V)

Independencia lineal

Sea VV un K\KK-espacio vectorial y {vα}α∈I\{\bfv_{\alpha} \}_{\alpha \in I} una familia de vectores de VV, entonces {vα}α∈I\{\bfv_{\alpha}\}_{\alpha \in I} es linealmente independiente si:

∑α∈I  aα⋅vα=0⇒aα=0∀α∈I\displaystyle{\sum_{\alpha \in I}} \; a_{\alpha} \cdot \bfv_{\alpha} = 0 \Rightarrow a_{\alpha} = 0 \quad \forall \alpha \in I

De lo contrario, es linealmente dependiente.

Como ejemplo en R2\RR^2, (1,0);(0,1)(1, 0); (0, 1) son linealmente independientes. Ninguno puede escribirse como múltiplo del otro.

Base y dimensión

Sea VV un K\KK-espacio vectorial. Una base de VV es el conjunto B⊆VB \subseteq V tal que BB genera a VV y BB es l.i.

La dimensión de VV es la cantidad de elementos de su base BB, se denota dim⁡V\dim V

Si tenemos dos bases B1,B2B_1, B_2 de VV, donde B1={v1,…,vn},  B2={w1,…,wm}B_1 = \{ \bfv_1, \ldots, \bfv_n \}, \; B_2 = \{ \bfw_1, \ldots, \bfw_m \}, entonces n=mn = m

Sea VV un K\KK-espacio vectorial de dimensión finita y sea SS un conjunto l.i. de VV. Entonces SS es finito y existen v1,…,vn\bfv_1, \ldots, \bfv_n vectores de VV tal que S∪{v1,…,vn}S \cup \{\bfv_1, \ldots, \bfv_n\} es base de VV

Vectores canónicos y base canónica

Se denota por   ei,  1≤i≤n\; \mathbf{e}_i, \; 1 \leq i \leq n a los vectores canónicos de Kn\KK^n donde solo hay una coordenada i=1i = 1 y el resto son nulos.

e1=(1,0,0)e2=(0,1,0)e3=(0,0,1)…\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) \quad \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) \quad \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1) \ldots

El conjunto dado por {e1,…,en}\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\} es llamado base canónica de Kn\KK^n.

Suma de subespacios

Sea VV un K\KK-espacio vectorial y S,TS, T subespacios de VV. Se denomina suma de SS y TT al conjunto
S+T={  v∈V  ∣  ∃x∈S,y∈T,v=x+y  }={  x+y  ∣  x∈S,y∈T  }S + T = \{ \; \bfv \in V \; \mid \; \exists x \in S, y \in T, \bfv = x + y \; \} = \{ \; x + y \; \mid \; x \in S, y \in T \; \}

Podemos decir que:

  1. S+TS + T es subespacio de VV
  2. S+TS + T es el menor subespacio que contiene a S∪TS \cup T
  3. Si {vi}i∈I\{ \bfv_i \}_{i \in I} es sistema de generadores de SS y {wj}j∈J\{ \bfw_j \}_{j \in J} es un sistema de generadores de TT,
    {vi}i∈I∪{wj}j∈J\{ \bfv_i \}_{i \in I} \cup \{\bfw_j\}_{j \in J} es un sistema de generadores de S+TS + T

Sea VV un K\KK-espacio vectorial y S,TS, T subespacios de VV de dimensión finita, entonces
dim⁡(S+T)=dim⁡S+dim⁡T−dim⁡(S∩T)\dim (S+T) = \dim S + \dim T - \dim (S \cap T)

Suma directa y complemento

Se dice que VV es suma directa de S,TS, T y se nota V=S⊕TV = S \oplus T tal que:   V=S+T  ∧  S∩T={0}\; V = S + T \; \land \; S \cap T = \{ 0 \}

Sea S⊆VS \subseteq V un subespacio de VV. TT es un complemento de SS en VV si V=S⊕TV = S \oplus T.

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