Sistemas de Numeración
Números Decimales y Binarios
Para seguir con este tema, recomendamos repasar esta sección: Desarrollos en base b (MD1)
El sistema numérico decimal es base \(10\), porque usa \(10\) dígitos y los coeficientes se multiplican por potencias de \(10\).
El sistema binario es base \(2\), porque usa \(2\) dígitos (los coeficientes solo pueden ser \(0 \lor 1\)).
Cada coeficiente \(a_j\) se multiplica por \(2^j\).
Un número con punto decimal se representa con una serie de coeficientes:
\[\begin{align} &a_{n} \; a_{4} \; a_{3} \; a_{2} \; a_{1} \; a_{0} \; .a_{-1} \; a_{-2} \; a_{-3} \; \ldots a_{-n} \; \\ &10^{n}a_{n} + 10^{4}a_{4} + 10^{3}a_{3} + 10^{2}a_{2} + 10^{1}a_{1} + 10^{0}a_{0} + 10^{-1}a_{-1} + 10^{-2}a_{-2} + 10^{-3}a_{-3} + \ldots + 10^{-n}a_{-n} \\ \end{align} \]Donde \(a_{n}\) es el coeficiente más grande y \(a_{-n}\) es el coeficiente más pequeño.
El punto decimal se usa para separar la parte entera de la parte fraccionaria.
El sistema binario sería:
\[\begin{align} &2^{n}a_{n} + 2^{4}a_{4} + 2^{3}a_{3} + 2^{2}a_{2} + 2^{1}a_{1} + 2^{0}a_{0} + 2^{-1}a_{-1} + 2^{-2}a_{-2} + 2^{-3}a_{-3} + \ldots + 2^{-n}a_{-n} \\ \end{align} \]Un ejemplo de número decimal a binario es \(13.62 = (1101)_{2}\). En lugar de denominar a los binarios como binary digits se les llama bits.
Podemos realizar operaciones aritméticas con números binarios de la siguiente forma:
\[\begin{align} &\quad \; 1101 \\ &+1011 \\ &\quad \overline{11000} \\ &\\ &\quad \; 1101 \\ &-1011 \\ &\quad\overline{\;0010} \\ & \\ &\quad \; 1101 \\ &\times \;\; 101 \\ &\quad \overline{\;\; 1101} \\ &\quad 0000 \\ &\;\; 1101 \\ &\overline{\; 1000001} \\ \end{align} \]Como no es posible \(1+1=2\) en binario, se deja un \(0\) y se lleva un \(1\) al siguiente coeficiente.
Conversiones de base numérica
La conversión de una fracción decimal a un número en base \(r\), pero en lugar de dividir se multiplica por \(r\) y se toma la parte entera.
Ejemplo: Convertir \(0.6875\) a binario y a base \(8\).
\[\begin{align} 0.6875 \times 2 &= 1 + 0.375 &\implies a_{-1} = 1 \\ 0.375 \times 2 &= 0 + 0.75 &\implies a_{-2} = 0 \\ 0.75 \times 2 &= 1 + 0.5 &\implies a_{-3} = 1 \\ 0.5 \times 2 &= 1 + 0 &\implies a_{-4} = 1 \\ \end{align} \]Tenemos que \(0.6875 = (0.1011)_2\).
\[\begin{align} 0.6875 \times 8 &= 5 + 0.5 &\implies a_{-1} = 5 \\ 0.5 \times 8 &= 4 + 0 &\implies a_{-2} = 4 \\ \end{align} \]Tenemos que \(0.6875 = (0.54)_8\).
Números Octales y Hexadecimales
Las conversiones entre binario, octal y hexadecimal son fundamentales en las computadoras, ya que \(2^3 = 8 \land 2^4 = 16\). Por lo que cada dígito en octal representa \(3\) bits y cada dígito en hexadecimal representa \(4\) bits.
La siguiente tabla muestra los núemros con diferente base:
| Decimal | Binario | Octal | Hexadecimal |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0000\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0001\) | \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(0010\) | \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(0011\) | \(3\) | \(3\) |
| \(4\) | \(0100\) | \(4\) | \(4\) |
| \(5\) | \(0101\) | \(5\) | \(5\) |
| \(6\) | \(0110\) | \(6\) | \(6\) |
| \(7\) | \(0111\) | \(7\) | \(7\) |
| \(8\) | \(1000\) | \(10\) | \(8\) |
| \(9\) | \(1001\) | \(11\) | \(9\) |
| \(10\) | \(1010\) | \(12\) | \(A\) |
| \(11\) | \(1011\) | \(13\) | \(B\) |
| \(12\) | \(1100\) | \(14\) | \(C\) |
| \(13\) | \(1101\) | \(15\) | \(D\) |
| \(14\) | \(1110\) | \(16\) | \(E\) |
| \(15\) | \(1111\) | \(17\) | \(F\) |
Podemos hacer conversiones de base numérica acomodando los dígitos de forma correspondiente.
Ejemplo: Convertir \((1101.1011)_2\) a octal y hexadecimal.
\[\begin{align} (1101.1011)_2 &= (001 \; 101 \; .001 \; 011)_2 = (15.13)_8 = (D.5)_8 \\ &\\ (1101.1011)_2 &= (D.B)_{16} \end{align} \]Complementos
Los complementos son una forma de representar números negativos.
Dado un número \(N\) en base \(r\) con \(n\) dígitos, el complemento a \((r - 1)\) es \((r^n - 1) - N\).
En el caso de los binarios \(r = 2 \land r - 1 = 1\), por lo que el complemento a \(1\) es \((2^n - 1) - N\).
El complemento a \(1\) se obtiene cambiando los \(0\) por \(1\) y los \(1\) por \(0\).
Por ejemplo, el complemento a \(1\) de \((1101)_2\) es \((0010)_2\).
El complemento a \(2\) se obtiene sumando \(1\) al complemento a \(1\)
Por ejemplo, el complemento a \(2\) de \((1101)_2\) es \((0011)_2\).
En la definición anterior se considera que el número no lleva punto. De ser el caso, se quita temporalmente para formar el complemento a \(1\) y luego se vuelve a colocar en su lugar.
Por ejemplo, el complemento a \(1\) de \((1101.1011)_2\) es \((0010.0100)_2\).
Números Flotantes
Los números flotantes son una representación de números reales extremadamente grandes o pequeños en notación científica. Este formato puede ser de precisión simple o doble, dependiendo de la cantidad de bits que se usen. En lenguajes como C se usan los tipos
floatydoublepara representarlos.
Su formato sería el siguiente:
\[x = (-1)^{s} \times (1 + F) \times 2^{E - B} \]- \(s\) corresponde a un bit de signo.
- \(F\) es la mantisa, un número fraccionario. Si es de precisión simple, se usan \(23\) bits y si es de precisión doble, se usan \(52\) bits.
- \(E\) es el exponente, un número entero. Si es de precisión simple, se usan \(8\) bits y si es de precisión doble, se usan \(11\) bits. Su valor se calcula como \(E = e - B\), donde \(e\) es el valor del exponente y \(B\) es el sesgo.
- El sesgo es un número que se le suma al exponente para que no sea negativo. En precisión simple, \(B = 127\) y en precisión doble, \(B = 1023\).
Por ejemplo, el número \(-13.625\) en precisión simple sería:
\[\begin{align} 13.625 &= 1101.1011 \\ &= 1.1011011 \times 2^3 \\ &= 1.1011011 \times 2^{(3 + 127)} \\ &= 1.1011011 \times 2^{130} \\ \end{align} \]Por lo que \(S\) = \(1\), \(E\) = \(130\) y \(F\) = \(10110110000000000000000\).
Infinitos y NaN
En los números flotantes, existen valores especiales como el infinito y el NaN (Not a Number).
El \(\pm \infty\) se representa con exponente \(= 111 \ldots 1\), y mantisa \(= 000 \ldots 0\).
Este se utiliza cuando un número excede el rango de representación.
El NaN se representa con exponente \(= 111 \ldots 1\), y mantisa \(\neq 000 \ldots 0\).
Este se utiliza cuando se realiza una operación inválida, como dividir por \(0\).