Sistemas de Numeración

Números Decimales y Binarios

Para seguir con este tema, es útil repasar esta sección: Desarrollos en base b (MD1)

El sistema numérico decimal es base $10$ , porque usa $10$ dígitos y los coeficientes se multiplican por potencias de $10$ .
El sistema binario es base $2$ , porque usa $2$ dígitos (los coeficientes solo pueden ser $0 \lor 1$ ).
Cada coeficiente $a_j$ se multiplica por $2^j$ .

Un número con punto decimal se representa con una serie de coeficientes:

\begin{aligned} &a_{n} \; a_{4} \; a_{3} \; a_{2} \; a_{1} \; a_{0} \; .a_{-1} \; a_{-2} \; a_{-3} \; \ldots a_{-n} \; \\ &10^{n}a_{n} + 10^{4}a_{4} + 10^{3}a_{3} + 10^{2}a_{2} + 10^{1}a_{1} + 10^{0}a_{0} + 10^{-1}a_{-1} + 10^{-2}a_{-2} + 10^{-3}a_{-3} + \ldots + 10^{-n}a_{-n} \\ \end{aligned}

Donde $a_{n}$ es el coeficiente más grande y $a_{-n}$ es el coeficiente más pequeño.
El punto decimal se usa para separar la parte entera de la parte fraccionaria.

El sistema binario sería:

\begin{aligned} &2^{n}a_{n} + 2^{4}a_{4} + 2^{3}a_{3} + 2^{2}a_{2} + 2^{1}a_{1} + 2^{0}a_{0} + 2^{-1}a_{-1} + 2^{-2}a_{-2} + 2^{-3}a_{-3} + \ldots + 2^{-n}a_{-n} \\ \end{aligned}

Un ejemplo de número decimal a binario es $13.62 = (1101)_{2}$ . En lugar de denominar a los binarios como binary digits se les llama bits.

Podemos realizar operaciones aritméticas con números binarios de la siguiente forma:

\begin{aligned} &\quad \; 1101 \\ &+1011 \\ &\quad \overline{11000} \\ &\\ &\quad \; 1101 \\ &-1011 \\ &\quad\overline{\;0010} \\ & \\ &\quad \; 1101 \\ &\times \;\; 101 \\ &\quad \overline{\;\; 1101} \\ &\quad 0000 \\ &\;\; 1101 \\ &\overline{\; 1000001} \\ \end{aligned}

Como no es posible $1+1=2$ en binario, se deja un $0$ y se lleva un $1$ al siguiente coeficiente.

Existen distintos registros (tamaños de bits) para representar números binarios, como los bytes ( $8$ bits).

Conversiones de base numérica

La conversión de una fracción decimal a un número en base $r$ , pero en lugar de dividir se multiplica por $r$ y se toma la parte entera.

Ejemplo: Convertir $0.6875$ a binario y a base $8$ .

\begin{aligned} 0.6875 \times 2 &= 1 + 0.375 &\implies a_{-1} = 1 \\ 0.375 \times 2 &= 0 + 0.75 &\implies a_{-2} = 0 \\ 0.75 \times 2 &= 1 + 0.5 &\implies a_{-3} = 1 \\ 0.5 \times 2 &= 1 + 0 &\implies a_{-4} = 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $0.6875 = (0.1011)_2$ .

\begin{aligned} 0.6875 \times 8 &= 5 + 0.5 &\implies a_{-1} = 5 \\ 0.5 \times 8 &= 4 + 0 &\implies a_{-2} = 4 \\ \end{aligned}

Tenemos que $0.6875 = (0.54)_8$ .

Números Octales y Hexadecimales

Las conversiones entre binario, octal y hexadecimal son fundamentales en las computadoras, ya que $2^3 = 8 \land 2^4 = 16$ . Por lo que cada dígito en octal representa $3$ bits y cada dígito en hexadecimal representa $4$ bits.

La siguiente tabla muestra los núemros con diferente base:

Decimal	Binario	Octal	Hexadecimal
$0$	$0000$	$0$	$0$
$1$	$0001$	$1$	$1$
$2$	$0010$	$2$	$2$
$3$	$0011$	$3$	$3$
$4$	$0100$	$4$	$4$
$5$	$0101$	$5$	$5$
$6$	$0110$	$6$	$6$
$7$	$0111$	$7$	$7$
$8$	$1000$	$10$	$8$
$9$	$1001$	$11$	$9$
$10$	$1010$	$12$	$A$
$11$	$1011$	$13$	$B$
$12$	$1100$	$14$	$C$
$13$	$1101$	$15$	$D$
$14$	$1110$	$16$	$E$
$15$	$1111$	$17$	$F$

Podemos hacer conversiones de base numérica acomodando los dígitos de forma correspondiente.

Ejemplo: Convertir $(1101.1011)_2$ a octal y hexadecimal.

\begin{aligned} (1101.1011)_2 &= (001 \; 101 \; .001 \; 011)_2 = (15.13)_8 = (D.5)_8 \\ &\\ (1101.1011)_2 &= (D.B)_{16} \end{aligned}

Puede darse el caso que el número no sea exactamente divisible por $3$ o $4$ , por lo que se agregan ceros a la izquierda (en la parte entera) o a la derecha (en la parte fraccionaria) para completar el número.

Ejemplo: Expresar $(11010011011011)_2$ y $(0.101101)_2$ en hexadecimal.

\begin{aligned} (11010011011011)_2 &= 1011 \; 0011 \; 0110 \; 11 = 1011 \; 0011 \; 0110 \; 0011 = (B36B)_{16} \\ &\\ (0.101101)_2 &= 1011 \; 01 = 1011 \; 0100 = (0.B4)_{16} \end{aligned}

Complementos

Los complementos son una forma de representar números negativos.
Dado un número $N$ en base $r$ con $n$ dígitos, el complemento a $(r - 1)$ es $(r^n - 1) - N$ .
En el caso de los binarios $r = 2 \land r - 1 = 1$ , por lo que el complemento a $1$ es $(2^n - 1) - N$ .

El complemento a $1$ se obtiene cambiando los $0$ por $1$ y los $1$ por $0$ .
El complemento a $2$ se obtiene sumando $1$ al complemento a $1$

Ejemplo:

El complemento a $1$ de $(1101)_2$ es $(0010)_2$ .
El complemento a $2$ de $(1101)_2$ es $(0011)_2$ .

En la definición anterior se considera que el número no lleva punto. De ser el caso, se quita temporalmente para formar el complemento a $1$ y luego se vuelve a colocar en su lugar.

Ejemplo:

El complemento a $1$ de $(1101.1011)_2$ es $(0010.0100)_2$ .

Podemos expresar un número decimal negativo a binario (negativos en complemento a $2$ ):

Ejemplo: Convertir $-63$ a binario, donde su tamaño de registro es de $8$ bits.

Primero calculamos el valor absoluto de $63$ en binario y agregamos ceros a la izquierda para completar los $8$ bits.

63 = (00111111)_2

Ahora obtenemos el complemento a $2$ de $(00111111)_2$ .

\begin{aligned} (00111111)_2 &\implies (11000000)_2 \\ +1 &\implies (11000001)_2 \end{aligned}

Por lo que $-63 = (11000001)_2$ .

Si quisiéramos aumentar el tamaño del registro, al ser negativo, se agregan unos a la izquierda.

Para hacer una resta entre dos números binarios, es más sencillo hacer el complemento a $2$ del sustraendo y sumar ambos números.

Números Flotantes

Los números flotantes son una representación de números reales extremadamente grandes o pequeños en notación científica. Este formato puede ser de precisión simple o doble, dependiendo de la cantidad de bits que se usen. En lenguajes como C se usan los tipos float y double para representarlos.

Su formato sería el siguiente:

x = (-1)^{s} \times (1 + F) \times 2^{E - B}

$s$ corresponde a un bit de signo.
$F$ es la mantisa, un número fraccionario. Si es de precisión simple, se usan $23$ bits y si es de precisión doble, se usan $52$ bits.
$E$ es el exponente, un número entero. Si es de precisión simple, se usan $8$ bits y si es de precisión doble, se usan $11$ bits. Su valor se calcula como $E = e + B$ , donde $e$ es el valor del exponente y $B$ es el sesgo.
El sesgo es un número que se le suma al exponente para que no sea negativo. En precisión simple, $B = 127$ y en precisión doble, $B = 1023$ .

Por ejemplo, el número $-13.625$ en precisión simple sería:

13.625 = 1101.1011

Para seguir el formato, necesitamos desplazar el $.$ cuantas veces sea necesario para solo tener una unidad entera. En este caso, tres veces $\implies e=3$

\begin{aligned} &= 1.1011011 \times 2^3 \\ &= 1.1011011 \times 2^{(130 - 127)} \end{aligned}

Tenemos que:

$s = 1$ (es negativo)
$F = 10110110000000000000000$ (agregamos ceros para llegar a $23$ bits)
$E = 130 = (10000110)_2$

Sumando todos los bits, tenemos $32$ bits. Agrupando $s, E, F$ (en ese orden) de a cuatro podemos dar con el número hexadecimal $0xC15A0000$

Infinitos y NaN

En los números flotantes, existen valores especiales como el infinito y el NaN (Not a Number).

El $\pm \infty$ se representa con exponente $= 111 \ldots 1$ , y mantisa $= 000 \ldots 0$ .
Este se utiliza cuando un número excede el rango de representación.

El NaN se representa con exponente $= 111 \ldots 1$ , y mantisa $\not=000 \ldots 0$ .
Este se utiliza cuando se realiza una operación inválida, como dividir por $0$ .