Varias Variables

En un mismo análisis pueden intervenir varias variables, por ello es importante conocer cómo se relacionan entre sí.
Sean $X, Y \; \mathbf{v.a.}$ su función de densidad conjunta es $f(x,y)$ . Su densidad puntual es $f(x,y)=P(X=x, Y=y)$ .

Densidad marginal de una variable

La densidad marginal de una variable $X$ es la función $f_X(x)$ es la sumatoria/integral de la función de densidad conjunta $f(x,y)$ respecto a la otra variable $Y$ (o viceversa).

\begin{aligned} &f_X(x) = \displaystyle{\sum_x} \; f(x,y), \quad\quad\quad f_Y(y) = \displaystyle{\sum_y} \; f(x,y) \quad \textnormal{(variables discretas)} \\ &f_X(x) = \int f(x,y)\; dy, \quad\quad f_Y(y) = \int f(x,y) \;dx \quad \textnormal{(variables continuas)} \end{aligned}

Independencia de variables

Dos variables $X, Y$ son independientes (el valor de una no influye en la probabilidad de otra)
si la probabilidad conjunta de que ocurran es el producto de sus probabilidades marginales:

\begin{aligned} &f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) \\ &\\ &f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = f_X(x) \\ \end{aligned}

Covarianza y correlación

La covarianza de dos variables $X, Y$ es la medida de la relación lineal entre ellas. Se denota como $Cov(X,Y)$ y se calcula como:

Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]

La correlación es la covarianza normalizada entre dos variables. El coeficiente de correlación se denota como $\rho(X,Y)$ y se calcula como:

\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \in [-1,1]

Interpreación del coeficiente de correlación

$\rho = 1 \implies$ correlación positiva perfecta (una variable aumenta y la otra también).
$0 < \rho < 1 \implies$ existe una correlación positiva.
$\rho = 0 \implies$ no existe relación lineal. No necesariamente las variables son independientes, pueden tener una relación no lineal.
$-1 < \rho < 0 \implies$ existe una correlación negativa.
$\rho = -1 \implies$ correlación negativa perfecta (una variable aumenta y la otra disminuye).