Límites

El límite de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente (\(x\)) se acerca a un valor \(a\).
Su anotación es: \(\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L\), (el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) es igual a \(L\)).

Propiedades - Límites

Sea \(a\) un real y \(c\) una constante:

• \(f(x) = c \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = c\)
• \(f(x) = cx \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = ca\)
• Si \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L\), \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = M\), entonces:
  1. \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + g(x)) = L + M\)
  2. \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) - g(x)) = L - M\)
  3. \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M\)
  4. \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}\), si \(M \neq 0\)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \sqrt[n]{L}\), si \(n \in \mathbb{N}\) par, y \(L \ge 0\)
• \(f(x) \leq g(x) \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) \leq \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x)\)

Teorema del Sandwich

Dadas las funciones \(f(x) \leq g(x) \leq h(x) \land (\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = L) \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\)

Límites laterales

El límite lateral de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente (\(x\)) se acerca a un valor \(a\) por la izquierda (números menores a \(a\)) o por la derecha (números mayores a \(a\)).
\(\;\displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = L\), (el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) por derecha es igual a \(L\)).
\(\;\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = L\), (el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) por izquierda es igual a \(L\)).

Teorema - Límites laterales

Para que un límite exista, es necesario que los límites laterales existan, sean iguales y finitos:
\(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L \iff \displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = L = \displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = L\)

Ejemplo:

Si quisieramos saber el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(0\), deberíamos calcular los límites laterales:

Ambos son distintos, por lo que \(\nexists\;\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; f(x)\).

Para saber el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(1\), repetimos:

En este caso, ambos son iguales, por lo que \(\displaystyle{\lim_{x \to 1}} \; f(x) = 1\).

Asíntotas Verticales

La recta \(x = a\) es una asíntota vertical de la función \(f(x)\) si \(\displaystyle{\lim_{x \to a^\pm}} \; f(x) = \pm \infty\).

Una forma de darnos cuenta si una A.V. existe es que el denominador de la función se anule en algún punto. Por ejemplo, en la función \(f(x) = \frac{1}{x}\), el denominador se anula en \(x = 0\). Si calculamos los límites laterales, nos daremos cuenta que \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; \frac{1}{x} = +\infty\) y \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; \frac{1}{x} = -\infty\), por lo que la recta \(x = 0\) es una A.V.

Tomemos por ejemplo, el caso de la función \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}\). Si calculamos los límites laterales cuando \(x\) tiende a \(-2\) por izquierda:

Sabemos que el límite es \(\infty\), ya que analizamos el comportamiento de la función cuando \(x\) tiende a \(-2\) (no nos interesa el valor de la función en \(x = -2\) como tal). Mientras más cerca estemos de \(-2\) (en este caso, por izquierda) el denominador es más chico y el valor de la función es más grande. Por lo tanto, el límite es \(\infty\).

Sin embargo, no sabemos el signo del \(\infty\). Para saberlo, debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando \(x\) tiende a \(-2\) por izquierda:

1. El numerador es positivo.
2. El factor tiende a \(-4\).
3. El factor tiende a \(0\) por izquierda. Por lo que será negativo (se acercará a \(-0\))

Teniendo los signos, la fracción sería:

Por lo que finalmente, el límite será:

Ejercicios resueltos - Asíntotas Verticales

1.

Sabemos que el límite es \(\infty\) cuando \(x=1\) o \(x=-1\), en este caso nos interesa el \(1\) ya que analizamos el comportamiento de la función cuando \(x\) tiende a \(1\). Para saber el signo del \(\infty\), debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando \(x\) tiende a \(1\) por derecha.

Aplicamos difrencia de cuadrados:

Todos los signos son positivos, por lo que el límite será:

Además la A.V. es \(x = 1\).

2.

Sabemos que el límite es \(\infty\) cuando \(x=3\). Para saber el signo del \(\infty\), debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando \(x\) tiende a \(3\) por izquierda.

El numerador es negativo y el denominador es positivo, por lo que el límite será:

Además la A.V. es \(x = -3\).

Límites en el Infinito

Las siguientes reglas de los límites infinitos serán utiles tanto para \(x \to \pm \infty\) como para \(x \to a\).

Suma y Resta

Sean: \(\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R})\):

• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + g(x)) = \infty\)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + h(x)) = \infty\)

Producto

Sean: \(\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R} - \{0\})\):

• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot g(x)) = \pm\infty\) (depende de los signos)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot h(x)) = \pm\infty\) (depende de los signos)

Cociente

Sean: \(\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = 0, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R} - \{0\})\):

• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \pm\infty\) (depende de los signos)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{h(x)}\right) = \pm\infty\) (depende de los signos)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right) = 0\)
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{h(x)}{h(x)}\right) \) INDETERMINADO
• \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{f(x)}\right) \) INDETERMINADO

Asíntotas Horizontales

La recta \(y = L\) es una asíntota horizontal de \(f(x)\) si \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} \; f(x) = L \;\lor \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}} \; f(x) = L\)
\(L\) debe ser FINITO.

Veamos un ejemplo, si queremos calcular la A.H. de la función \(f(x) = \frac{1}{x}\), debemos calcular los límites laterales cuando \(x\) tiende a \(\pm\infty\):

En algunos casos, para no conseguir un resultado indeterminado debemos factorizar.

Ejercicios resueltos - Asíntotas Horizontales

1.

En este caso, si reemplazamos \(x\) por \(\infty\) nos queda \(\frac{+\infty}{+\infty}\), que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:

Ahora si podemos reemplazar \(x\) por \(\infty\):

Por lo tanto, la A.H. es \(y = 2\).

2.

En este caso, si reemplazamos \(x\) por \(-\infty\) nos queda \(\frac{-\infty}{-\infty}\), que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:

Ahora, si reemplazamos \(x\) por \(-\infty\):

Por lo tanto, la A.H. es \(y = 1\).