Límites

El límite de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente ($x$) se acerca a un valor $a$.
Su anotación es: $\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L$, (el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual a $L$).

Propiedades - Límites

Sea $a$ un real y $c$ una constante:

• $f(x) = c \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = c$
• $f(x) = cx \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = ca$
• Si $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L$, $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = M$, entonces:
  1. $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + g(x)) = L + M$
  2. $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) - g(x)) = L - M$
  3. $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$
  4. $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$, si $M \not=0$
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \sqrt[n]{L}$, si $n \in \mathbb{N}$ par, y $L \ge 0$
• $f(x) \leq g(x) \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) \leq \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x)$

Teorema del Sandwich

Dadas las funciones $f(x) \leq g(x) \leq h(x) \land (\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = L) \implies \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L$

Límites laterales

El límite lateral de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente ($x$) se acerca a un valor $a$ por la izquierda (números menores a $a$) o por la derecha (números mayores a $a$).
$\;\displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = L$, (el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por derecha es igual a $L$).
$\;\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = L$, (el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por izquierda es igual a $L$).

Teorema - Límites laterales

Para que un límite exista, es necesario que los límites laterales existan, sean iguales y finitos:
$\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = L \iff \displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = L = \displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = L$

Ejemplo:

Si quisieramos saber el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $0$, deberíamos calcular los límites laterales:

Ambos son distintos, por lo que $\nexists\;\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; f(x)$.

Para saber el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $1$, repetimos:

En este caso, ambos son iguales, por lo que $\displaystyle{\lim_{x \to 1}} \; f(x) = 1$.

Asíntotas Verticales

La recta $x = a$ es una asíntota vertical de la función $f(x)$ si $\displaystyle{\lim_{x \to a^\pm}} \; f(x) = \pm \infty$.

Una forma de darnos cuenta si una A.V. existe es que el denominador de la función se anule en algún punto. Por ejemplo, en la función $f(x) = \frac{1}{x}$, el denominador se anula en $x = 0$. Si calculamos los límites laterales, nos daremos cuenta que $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; \frac{1}{x} = +\infty$ y $\displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; \frac{1}{x} = -\infty$, por lo que la recta $x = 0$ es una A.V.

Tomemos por ejemplo, el caso de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Si calculamos los límites laterales cuando $x$ tiende a $-2$ por izquierda:

Sabemos que el límite es $\infty$, ya que analizamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $-2$ (no nos interesa el valor de la función en $x = -2$ como tal). Mientras más cerca estemos de $-2$ (en este caso, por izquierda) el denominador es más chico y el valor de la función es más grande. Por lo tanto, el límite es $\infty$.

Sin embargo, no sabemos el signo del $\infty$. Para saberlo, debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando $x$ tiende a $-2$ por izquierda:

1. El numerador es positivo.
2. El factor tiende a $-4$.
3. El factor tiende a $0$ por izquierda. Por lo que será negativo (se acercará a $-0$)

Teniendo los signos, la fracción sería:

Por lo que finalmente, el límite será:

Ejercicios resueltos - Asíntotas Verticales

1.

Sabemos que el límite es $\infty$ cuando $x=1$ o $x=-1$, en este caso nos interesa el $1$ ya que analizamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $1$. Para saber el signo del $\infty$, debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando $x$ tiende a $1$ por derecha.

Aplicamos difrencia de cuadrados:

Todos los signos son positivos, por lo que el límite será:

Además la A.V. es $x = 1$.

2.

Sabemos que el límite es $\infty$ cuando $x=3$. Para saber el signo del $\infty$, debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando $x$ tiende a $3$ por izquierda.

El numerador es negativo y el denominador es positivo, por lo que el límite será:

Además la A.V. es $x = -3$.

Límites en el Infinito

Las siguientes reglas de los límites infinitos serán utiles tanto para $x \to \pm \infty$ como para $x \to a$.

Suma y Resta

Sean: $\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R})$:

• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + g(x)) = \infty$
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) + h(x)) = \infty$

Producto

Sean: $\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R} - \{0\})$:

• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot g(x)) = \pm\infty$ (depende de los signos)
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; (f(x) \cdot h(x)) = \pm\infty$ (depende de los signos)

Cociente

Sean: $\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \infty, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; h(x) = 0, \;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = L\;(\mathbb{R} - \{0\})$:

• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \pm\infty$ (depende de los signos)
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{h(x)}\right) = \pm\infty$ (depende de los signos)
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right) = 0$
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{h(x)}{h(x)}\right)$ INDETERMINADO
• $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \left(\frac{f(x)}{f(x)}\right)$ INDETERMINADO

Asíntotas Horizontales

La recta $y = L$ es una asíntota horizontal de $f(x)$ si $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} \; f(x) = L \;\lor \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}} \; f(x) = L$
$L$ debe ser FINITO.

Veamos un ejemplo, si queremos calcular la A.H. de la función $f(x) = \frac{1}{x}$, debemos calcular los límites laterales cuando $x$ tiende a $\pm\infty$:

En algunos casos, para no conseguir un resultado indeterminado debemos factorizar.

Ejercicios resueltos - Asíntotas Horizontales

1.

En este caso, si reemplazamos $x$ por $\infty$ nos queda $\frac{+\infty}{+\infty}$, que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:

Ahora si podemos reemplazar $x$ por $\infty$:

Por lo tanto, la A.H. es $y = 2$.

2.

En este caso, si reemplazamos $x$ por $-\infty$ nos queda $\frac{-\infty}{-\infty}$, que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:

Ahora, si reemplazamos $x$ por $-\infty$:

Por lo tanto, la A.H. es $y = 1$.