Límites
El límite de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente () se acerca a un valor .
Su anotación es: , (el límite de cuando tiende a es igual a ).
Propiedades - Límites
Sea un real y una constante:
- Si , , entonces:
- , si
- , si par, y
- Teorema del Sandwich: y
Límites laterales
El límite lateral de una función es el valor al que tiende la función cuando el valor de su variable independiente () se acerca a un valor por la izquierda (números menores a ) o por la derecha (números mayores a ).
, (el límite de cuando tiende a por derecha es igual a ).
, (el límite de cuando tiende a por izquierda es igual a ).
Teorema - Límites laterales
Para que un límite exista, es necesario que los límites laterales existan, sean iguales y finitos:
Ejemplo:
Si quisieramos saber el límite de cuando tiende a , deberíamos calcular los límites laterales:
Ambos son distintos, por lo que .
Para saber el límite de cuando tiende a , repetimos:
En este caso, ambos son iguales, por lo que .
Asíntotas Verticales
La recta es una asíntota vertical de la función si .
Una forma de darnos cuenta si una A.V. existe es que el denominador de la función se anule en algún punto. Por ejemplo, en la función , el denominador se anula en . Si calculamos los límites laterales, nos daremos cuenta que y , por lo que la recta es una A.V.
Tomemos por ejemplo, el caso de la función . Si calculamos los límites laterales cuando tiende a por izquierda:
Sabemos que el límite es , ya que analizamos el comportamiento de la función cuando tiende a (no nos interesa el valor de la función en como tal). Mientras más cerca estemos de (en este caso, por izquierda) el denominador es más chico y el valor de la función es más grande. Por lo tanto, el límite es .
Sin embargo, no sabemos el signo del . Para saberlo, debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando tiende a por izquierda:
- El numerador es positivo.
- El factor tiende a .
- El factor tiende a por izquierda. Por lo que será negativo (se acercará a )
Teniendo los signos, la fracción sería:
Por lo que finalmente, el límite será:
Ejercicios resueltos - Asíntotas Verticales
1.
Sabemos que el límite es cuando o , en este caso nos interesa el ya que analizamos el comportamiento de la función cuando tiende a . Para saber el signo del , debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando tiende a por derecha.
Aplicamos difrencia de cuadrados:
Todos los signos son positivos, por lo que el límite será:
Además la A.V. es .
2.
Sabemos que el límite es cuando . Para saber el signo del , debemos averiguar los signos de toda la fracción cuando tiende a por izquierda.
El numerador es negativo y el denominador es positivo, por lo que el límite será:
Además la A.V. es .
Límites en el Infinito
Las siguientes reglas de los límites infinitos serán utiles tanto para como para .
Suma y Resta
Sean: :
Producto
Sean: :
- (depende de los signos)
- (depende de los signos)
Cociente
Sean: :
- (depende de los signos)
- (depende de los signos)
- INDETERMINADO
- INDETERMINADO
Asíntotas Horizontales
La recta es una asíntota horizontal de si
debe ser FINITO.
Veamos un ejemplo, si queremos calcular la A.H. de la función , debemos calcular los límites laterales cuando tiende a :
En algunos casos, para no conseguir un resultado indeterminado debemos factorizar.
Ejercicios resueltos - Asíntotas Horizontales
1.
En este caso, si reemplazamos por nos queda , que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:
Ahora si podemos reemplazar por :
Por lo tanto, la A.H. es .
2.
En este caso, si reemplazamos por nos queda , que es un resultado indeterminado. Por lo tanto, debemos factorizar:
Ahora, si reemplazamos por :
Por lo tanto, la A.H. es .