Análisis de Funciones

Máximos y Mínimos (extremos)

Absolutos

$f$ tiene un máximo absoluto en $x = c$ si $f (c) \geq f (x) \forall x \in D o m f$ .
$f$ tiene un mínimo absoluto en $x = c$ si $f (c) \leq f (x) \forall x \in D o m f$ .

En este ejemplo, el punto $A = (0, 0)$ es el punto mínimo absoluto de $f$ y el máximo absoluto de $g$ :

Locales

$f$ tiene un máximo local en $x = c$ si existe un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene a $c$ tal que
$f (c) \geq f (x) \forall x \in (a, b)$ .
$f$ tiene un mínimo local en $x = c$ si existe un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene a $c$ tal que
$f (c) \leq f (x) \forall x \in (a, b)$ .

En este función, hay dos intervalos: $H$ y $P$ . En $H$ su máximo y mínimo local son $A$ y $B$ , respectivamente.
En $P$ su máximo y mínimo local son $C$ y $D$ , respectivamente.

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un extremo local en $x = c \land \exists f^{'} (c) ⟹ f^{'} (c) = 0$

Puntos críticos

Un punto crítico de $f$ es un punto $c$ en el dominio de $f$ tal que $f^{'} (c) = 0 \lor ∄ f^{'} (c)$

Teorema de Rolle

Sea $f$ una función tal que:
1] continua en $[a, b]$
2] derivable en $(a, b)$
3] $f (a) = f (b)$
Entonces $\exists c \in (a, b)$ tal que $f^{'} (c) = 0$

Hay algunas excepciones a esta función, entre ellas funciones definidas por casos o lineales:
$f \in [- 1, 1], f (- 1) \neq f (1)$

Teorema de Valor Medio

Sea $f$ una función tal que:
1] continua en $[a, b]$
2] derivable en $(a, b)$
Entonces $\exists c \in (a, b)$ tal que $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$
(es decir, $f^{'} (c) =$ pendiente de la recta secante de $a$ y $b$ )

Crecimiento y Decrecimiento

Sea $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ , entonces:
$f^{'} (x) > 0 ⟹ f$ es creciente en $[a, b]$
$f^{'} (x) < 0 ⟹ f$ es decreciente en $[a, b]$

Concavidad

Si $\exists f^{″} (x)$ en un intervalo $I$ :
$f^{″} (x) > 0 ⟹ f$ es cóncava hacia arriba $I$
$f^{″} (x) < 0 ⟹ f$ es cóncava hacia abajo $I$

Prueba de la Derivada Segunda

Si $f^{″}$ es continua en un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene $c$ :
Si $f^{'} (c) = 0 \land f^{″} (c) > 0 ⟹ f$ tiene un mínimo local en $x = c$
Si $f^{'} (c) = 0 \land f^{″} (c) < 0 ⟹ f$ tiene un máximo local en $x = c$

Ejercicios resueltos - Análisis de funciones

Realizar un análisis completo de la función $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f$

$D o m f (x) = R$ (Es un polinomio)

Es par o impar?

f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x)^{2} + 2 (- x) + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1

$f (x) \neq f (- x) ⟹ f$ no es par

- f (x) = - (x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 1

$f (x) \neq - f (x) ⟹ f$ no es impar

Por lo tanto, no es par ni impar

Ordenada al origen: $= 1$

Calculamos las raíces de $f$ :

Realizamos un cambio de variable, $x^{2} = t$ :

t^{2} - 3 t + 2 = 0

(t - 2) (t - 1) = 0

t_{1} = 2 ⟹ x^{2} = 2 ⟹ x_{1}, x_{2} = \pm \sqrt{2}

t_{2} = 1 ⟹ x^{2} = 1 ⟹ x_{3}, x_{4} = \pm \sqrt{1}

Sus raíces son: $x_{1} = - \sqrt{2}, x_{2} = \sqrt{2}, x_{3} = - 1, x_{4} = 1$

No tiene A.V. (El dominio es $R$ )

Buscamos la Asíntota horizontal:

lim_{x \to - \infty} f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1

Aplicamos factor común $x^{3}$ :

lim_{x \to - \infty} f (x) = x^{3} (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})

Reemplazamos $x$ por $- \infty$ y resolvemos:

(- \infty)^{3} (1 - \frac{3}{- \infty} + \frac{2}{(- \infty)^{2}} + \frac{1}{(- \infty)^{3}}) = - \infty

(- \infty) (1 - 0 + 0 + 0) = - \infty

Ahora hacemos lo mismo para $+ \infty$ :

lim_{x \to + \infty} f (x) = x^{3} (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})

Reemplazamos $x$ por $+ \infty$ y resolvemos:

(+ \infty)^{3} (1 - \frac{3}{+ \infty} + \frac{2}{(+ \infty)^{2}} + \frac{1}{(+ \infty)^{3}}) = + \infty

(+ \infty) (1 - 0 + 0 + 0) = + \infty

No tiene A.H. (No finitos)

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f^{'}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2$

Puntos críticos:

Igualamos a $0$ :

3 x^{2} - 6 x + 2 = 0

Aplicamos Bhaskara:

x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 (3) (2)}}{2 (3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}

Reducimos la fracción:

x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}

x_{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

Sus puntos críticos son: $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, x_{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada:

3 (x - (\frac{3 + \sqrt{3}}{3})) (x - (\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) > 0 \lor 3 (x - (\frac{3 + \sqrt{3}}{3})) (x - (\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) < 0

(Nota: en este caso el dominio son todos los reales, si no fuera el caso, omitimos los valores que no están definidos en los intervalos)

$x_{c}$	$\begin{matrix} (- \infty, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}) \\ x = - 100 \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{3}) \\ x = 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, + \infty) \\ x = 100 \end{matrix}$
$3 (x - (\frac{3 + \sqrt{3}}{3})) (x - (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}))$	$(+) (-) (-)$	$(+) (+) (-)$	$(+) (+) (+)$
$f^{'} (x)$	$(+)$	$(-)$	$(+)$
$f (x)$	$↗$	$↘$	$↗$

Máximo Local:

x_{c} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

\begin{aligned} f (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}) & = {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})}^{3} - 3 {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 2 (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}) + 1 \\ = \frac{(3 - \sqrt{3})^{3}}{27} - \frac{3 (3 - \sqrt{3})^{2}}{9} + \frac{2 (3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ = \frac{27 - 27 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} - 9}{27} - \frac{3 (9 - 6 \sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2 (3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ = \frac{18 - 18 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 18}{27} - \frac{27 - 18 \sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3} + 1 \\ = \frac{- 27 \sqrt{3}}{27} - \frac{9 \sqrt{3}}{9} + \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3} + 1 \\ = - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1 \\ = 3 - 3 \sqrt{3} . \end{aligned}

El máximo local es $A = (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, 3 - 3 \sqrt{3})$

Mínimo Local:

x_{c} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}

\begin{aligned} f (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}) & = {(\frac{3 + \sqrt{3}}{3})}^{3} - 3 {(\frac{3 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 2 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}) + 1 \\ = \frac{(3 + \sqrt{3})^{3}}{27} - \frac{3 (3 + \sqrt{3})^{2}}{9} + \frac{2 (3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ = \frac{27 + 27 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} + 9}{27} - \frac{3 (9 + 6 \sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2 (3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ = \frac{18 + 18 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 18}{27} - \frac{27 + 18 \sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3} + 1 \\ = \frac{27 \sqrt{3}}{27} - \frac{9 \sqrt{3}}{9} + \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3} + 1 \\ = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 \\ = 3 + 3 \sqrt{3} . \end{aligned}

El mínimo local es $B = (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, 3 + 3 \sqrt{3})$

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f^{″}$

$f^{″} (x) = 6 x - 6$

En este caso no hay raíces, por lo que buscamos un único punto de inflexión y definimos intervalos:

6 x - 6 = 0

x = \frac{6}{6} = 1

Su punto de inflexión es: $x_{c} = 1$

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada segunda:

$x_{c}$	$\begin{matrix} (- \infty, 1) \\ x = - 100 \end{matrix}$	$\begin{matrix} (1, + \infty) \\ x = 100 \end{matrix}$
$6 x - 6$	$(-)$	$(+)$
$f^{″} (x)$	$(-)$	$(+)$
$f (x)$	$\cap$	$\cup$

Realizar un análisis completo de la función: $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f$

$D o m f (x) = R - {1}$ (Es una función racional)

Es par o impar?

f (- x) = \frac{(- x)^{2}}{- x - 1} = \frac{x^{2}}{- x - 1}

f (x) \neq f (- x)

- f (x) = - \frac{x^{2}}{x - 1}

f (x) \neq - f (x)

Por lo tanto, no es par ni impar

Ordenada al origen: $= 0$

Sus raíces son: $x_{1} = 0$

A.V.: $x = 1$

Buscamos la Asíntota horizontal:

lim_{x \to - \infty} f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

Aplicamos factor común $x^{2}$ :

lim_{x \to - \infty} f (x) = x^{2} (\frac{1}{x - 1})