Análisis de Funciones

Máximos y Mínimos (extremos)

Absolutos

$f$ tiene un máximo absoluto en $x = c$ si $f(c) >= f(x)\; \forall x \in Dom\;f$ .
$f$ tiene un mínimo absoluto en $x = c$ si $f(c) <= f(x)\; \forall x \in Dom\;f$ .

En este ejemplo, el punto $A = (0,0)$ es el punto mínimo absoluto de $f$ y el máximo absoluto de $g$ :

Locales

$f$ tiene un máximo local en $x = c$ si existe un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene a $c$ tal que
$f(c) >= f(x)\; \forall x \in (a, b)$ .
$f$ tiene un mínimo local en $x = c$ si existe un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene a $c$ tal que
$f(c) <= f(x)\; \forall x \in (a, b)$ .

En este función, hay dos intervalos: $\mathbb{H}$ y $\mathbb{P}$ . En $\mathbb{H}$ su máximo y mínimo local son $A$ y $B$ , respectivamente.
En $\mathbb{P}$ su máximo y mínimo local son $C$ y $D$ , respectivamente.

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un extremo local en $x = c\;\land\;\exists\;f'(c) \implies f'(c) = 0$

Puntos críticos

Un punto crítico de $f$ es un punto $c$ en el dominio de $f$ tal que $f'(c) = 0 \; \lor \; \nexists \; f'(c)$

Teorema de Rolle

Sea $f$ una función tal que:
1] continua en $[a, b]$
2] derivable en $(a, b)$
3] $f(a) = f(b)$
Entonces $\exists\;c \in (a, b) \;$ tal que $\; f'(c) = 0$

Hay algunas excepciones a esta función, entre ellas funciones definidas por casos o lineales:
$f \in [-1, 1], f(-1) \neq f(1)$

Teorema de Valor Medio

Sea $f$ una función tal que:
1] continua en $[a, b]$
2] derivable en $(a, b)$
Entonces $\exists\;c \in (a, b) \;$ tal que $\; f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
(es decir, $f'(c) =$ pendiente de la recta secante de $a$ y $b$ )

Crecimiento y Decrecimiento

Sea $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ , entonces:
$f'(x) > 0 \implies f$ es creciente en $[a, b]$
$f'(x) < 0 \implies f$ es decreciente en $[a, b]$

Concavidad

Si $\;\exists\;f''(x)$ en un intervalo $\mathbb{I}$ :
$f''(x) > 0 \implies f$ es cóncava hacia arriba $\mathbb{I}$
$f''(x) < 0 \implies f$ es cóncava hacia abajo $\mathbb{I}$

Prueba de la Derivada Segunda

Si $f''$ es continua en un intervalo abierto $(a, b)$ que contiene $c$ :
Si $f'(c) = 0 \land f''(c) > 0 \implies f$ tiene un mínimo local en $x = c$
Si $f'(c) = 0 \land f''(c) < 0 \implies f$ tiene un máximo local en $x = c$

Ejercicios resueltos - Análisis de funciones

Realizar un análisis completo de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ .

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f$

$Dom\;f(x) = \mathbb{R}$ (Es un polinomio)

Es par o impar?

f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 - 3x^2 - 2x + 1

$f(x) \neq f(-x) \implies f$ no es par

-f(x) = -(x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = -x^3 + 3x^2 - 2x - 1

$f(x) \neq -f(x) \implies f$ no es impar

Por lo tanto, no es par ni impar

Ordenada al origen: $= 1$

Calculamos las raíces de $f$ :

Realizamos un cambio de variable, $x^2 = t$ :

t^2 - 3t + 2 = 0

(t - 2)(t - 1) = 0

t_1 = 2 \implies x^2 = 2 \implies x_1, x_2 = \pm \sqrt{2}

t_2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x_3, x_4 = \pm \sqrt{1}

Sus raíces son: $x_1 = -\sqrt{2},\;x_2 = \sqrt{2},\;x_3 = -1,\;x_4 = 1$

No tiene A.V. (El dominio es $\mathbb{R}$ )

Buscamos la Asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1

Aplicamos factor común $x^3$ :

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^3(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3})

Reemplazamos $x$ por $-\infty$ y resolvemos:

(-\infty)^3(1 - \frac{3}{-\infty} + \frac{2}{(-\infty)^2} + \frac{1}{(-\infty)^3}) = -\infty

(-\infty)(1 - 0 + 0 + 0) = -\infty

Ahora hacemos lo mismo para $+\infty$ :

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = x^3(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3})

Reemplazamos $x$ por $+\infty$ y resolvemos:

(+\infty)^3(1 - \frac{3}{+\infty} + \frac{2}{(+\infty)^2} + \frac{1}{(+\infty)^3}) = +\infty

(+\infty)(1 - 0 + 0 + 0) = +\infty

No tiene A.H. (No finitos)

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f'$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Puntos críticos:

Igualamos a $0$ :

3x^2 - 6x + 2 = 0

Aplicamos Bhaskara:

x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}

Reducimos la fracción:

x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}

x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

Sus puntos críticos son: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3},\;x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada:

3(x-(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}))(x-(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) > 0\;\lor\;3(x-(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}))(x-(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) < 0

(Nota: en este caso el dominio son todos los reales, si no fuera el caso, omitimos los valores que no están definidos en los intervalos)

$x_c$	$(-\infty, \frac{3 - \sqrt{3}}{3})\\ \small{x=-100}$	$(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{3})\\ \small{x=1}$	$(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, +\infty)\\ \small{x=100}$
$3\\(x-(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}))\\(x-(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}))$	$(+)\\(-)\\(-)$	$(+)\\(+)\\(-)$	$(+)\\(+)\\(+)$
$f'(x)$	$(+)$	$(-)$	$(+)$
$f(x)$	$\nearrow$	$\searrow$	$\nearrow$

Máximo Local:

x_c = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

\begin{aligned} f\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right) & = \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right) + 1 \\ & = \frac{(3 - \sqrt{3})^3}{27} - \frac{3(3 - \sqrt{3})^2}{9} + \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{27 - 27\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 9}{27} - \frac{3(9 - 6\sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{18 - 18\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 18}{27} - \frac{27 - 18\sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \frac{-27\sqrt{3}}{27} - \frac{9\sqrt{3}}{9} + \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = -\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1 \\ & = 3 - 3\sqrt{3}. \end{aligned}

El máximo local es $A = (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, 3 - 3\sqrt{3})$

Mínimo Local:

x_c = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}

\begin{aligned} f\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) & = \left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) + 1 \\ & = \frac{(3 + \sqrt{3})^3}{27} - \frac{3(3 + \sqrt{3})^2}{9} + \frac{2(3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{27 + 27\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 9}{27} - \frac{3(9 + 6\sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2(3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{18 + 18\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 18}{27} - \frac{27 + 18\sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \frac{27\sqrt{3}}{27} - \frac{9\sqrt{3}}{9} + \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 \\ & = 3 + 3\sqrt{3}. \end{aligned}

El mínimo local es $B = (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, 3 + 3\sqrt{3})$

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f''$

$f''(x) = 6x - 6$

En este caso no hay raíces, por lo que buscamos un único punto de inflexión y definimos intervalos:

6x - 6 = 0

x = \frac{6}{6} = 1

Su punto de inflexión es: $x_c = 1$

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada segunda:

$x_c$	$(-\infty, 1)\\ \small{x=-100}$	$(1, +\infty)\\ \small{x=100}$
$6x - 6$	$(-)$	$(+)$
$f''(x)$	$(-)$	$(+)$
$f(x)$	$\cap$	$\cup$

Realizar un análisis completo de la función: $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f$

$Dom\;f(x) = \mathbb{R} - \{1\}$ (Es una función racional)

Es par o impar?

f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x - 1} = \frac{x^2}{-x - 1}

f(x) \neq f(-x)

-f(x) = -\frac{x^2}{x - 1}

f(x) \neq -f(x)

Por lo tanto, no es par ni impar

Ordenada al origen: $= 0$

Sus raíces son: $x_1 = 0$

A.V.: $x = 1$

Buscamos la Asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{x^2}{x - 1}

Aplicamos factor común $x^2$ :

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^2(\frac{1}{x - 1})

Reemplazamos $x$ por $-\infty$ y resolvemos:

(-\infty)^2(\frac{1}{-\infty - 1}) = +\infty

(+\infty)(\frac{1}{-\infty - 1}) = -\infty

Ahora hacemos lo mismo para $+\infty$ :

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = x^2(\frac{1}{x - 1})

Reemplazamos $x$ por $+\infty$ y resolvemos:

(+\infty)^2(\frac{1}{+\infty - 1}) = +\infty

(+\infty)(\frac{1}{+\infty - 1}) = +\infty

No tiene A.H. (No finitos)

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f'$

$f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$

Puntos críticos:

Igualamos a $0$ :

\frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0

x(x - 2) = 0

x_1 = 0

x_2 = 2

Sus puntos críticos son: $x_1 = 0,\;x_2 = 2$

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada:

$x_c$	$(-\infty, 0)\\ \small{x=-100}$	$(0, 1)\\ \small{x=1/2}$	$(1, 2)\\ \small{x=3/2}$	$(2, +\infty)\\ \small{x=100}$
$x(x - 2)$	$(-)\\(-)$	$(-)\\(+)$	$(+)\\(+)$	$(+)\\(+)$
$(x - 1)^2$	$(+)$	$(+)$	$(+)$	$(+)$
$f'(x)$	$(-)$	$(+)$	$(+)$	$(+)$
$f(x)$	$\searrow$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\nearrow$

Mínimo Local:

x_c = 0

f(0) = \frac{0^2}{0 - 1} = 0

El mínimo local es $A = (0, 0)$

INFORMACIÓN A PARTIR DE $f''$

$f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3}$

En este caso no hay raíces, por lo que buscamos un único punto de inflexión y definimos intervalos:

\frac{2}{(x - 1)^3} = 0

No tiene solución, por lo que no tiene puntos de inflexión.

Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada segunda:

$x_c$	$(-\infty, 1)\\ \small{x=-100}$	$(1, +\infty)\\ \small{x=100}$
$\frac{2}{(x - 1)^3}$	$(+)$	$(+)$
$f''(x)$	$(+)$	$(+)$
$f(x)$	$\cup$	$\cup$

Derivadas Integrales (AM1)