Análisis de Funciones
Máximos y Mínimos (extremos)
Absolutos
\(f\) tiene un máximo absoluto en \(x = c\) si \(f(c) \geq f(x)\; \forall x \in Dom\;f\).
\(f\) tiene un mínimo absoluto en \(x = c\) si \(f(c) \leq f(x)\; \forall x \in Dom\;f\).
En este ejemplo, el punto \(A = (0,0)\) es el punto mínimo absoluto de \(f\) y el máximo absoluto de \(g\):
Locales
\(f\) tiene un máximo local en \(x = c\) si existe un intervalo abierto \((a, b)\) que contiene a \(c\) tal que
\(f(c) \geq f(x)\; \forall x \in (a, b)\).
\(f\) tiene un mínimo local en \(x = c\) si existe un intervalo abierto \((a, b)\) que contiene a \(c\) tal que
\(f(c) \leq f(x)\; \forall x \in (a, b)\).
En este función, hay dos intervalos: \(\mathbb{H}\) y \(\mathbb{P}\). En \(\mathbb{H}\) su máximo y mínimo local son \(A\) y \(B\), respectivamente.
En \(\mathbb{P}\) su máximo y mínimo local son \(C\) y \(D\), respectivamente.
Teorema de Fermat
Si \(f\) tiene un extremo local en \(x = c\;\land\;\exists\;f'(c) \implies f'(c) = 0\)
Puntos críticos
Un punto crítico de \(f\) es un punto \(c\) en el dominio de \(f\) tal que \(f'(c) = 0 \; \lor \; \nexists \; f'(c)\)
Teorema de Rolle
Sea \(f\) una función tal que:
1] continua en \([a, b]\)
2] derivable en \((a, b)\)
3] \(f(a) = f(b)\)
Entonces \(\exists\;c \in (a, b) \;\) tal que \(\; f'(c) = 0\)
Hay algunas excepciones a esta función, entre ellas funciones definidas por casos o lineales:
\(f \in [-1, 1], f(-1) \neq f(1)\)
Teorema de Valor Medio
Sea \(f\) una función tal que:
1] continua en \([a, b]\)
2] derivable en \((a, b)\)
Entonces \(\exists\;c \in (a, b) \;\) tal que \(\; f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
(es decir, \(f'(c) =\) pendiente de la recta secante de \(a\) y \(b\))
Crecimiento y Decrecimiento
Sea \(f\) continua en \([a, b]\) y derivable en \((a, b)\), entonces:
\(f'(x) > 0 \implies f\) es creciente en \([a, b]\)
\(f'(x) < 0 \implies f\) es decreciente en \([a, b]\)
Concavidad
Si \(\;\exists\;f''(x)\) en un intervalo \(\mathbb{I}\):
\(f''(x) > 0 \implies f\) es cóncava hacia arriba \(\mathbb{I}\)
\(f''(x) < 0 \implies f\) es cóncava hacia abajo \(\mathbb{I}\)
Prueba de la Derivada Segunda
Si \(f''\) es continua en un intervalo abierto \((a, b)\) que contiene \(c\):
Si \(f'(c) = 0 \land f''(c) > 0 \implies f\) tiene un mínimo local en \(x = c\)
Si \(f'(c) = 0 \land f''(c) < 0 \implies f\) tiene un máximo local en \(x = c\)
Ejercicios resueltos - Análisis de funciones
1.
Realizar un análisis completo de la función \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\).
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f\)
\(Dom\;f(x) = \mathbb{R}\) (Es un polinomio)
Es par o impar?
\[f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 - 3x^2 - 2x + 1 \]\(f(x) \neq f(-x) \implies f\) no es par
\[-f(x) = -(x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = -x^3 + 3x^2 - 2x - 1 \]\(f(x) \neq -f(x) \implies f\) no es impar
Por lo tanto, no es par ni impar
Ordenada al origen: \(= 1\)
Calculamos las raíces de \(f\):
Realizamos un cambio de variable, \(x^2 = t\):
\[t^2 - 3t + 2 = 0 \] \[(t - 2)(t - 1) = 0 \] \[t_1 = 2 \implies x^2 = 2 \implies x_1, x_2 = \pm \sqrt{2} \] \[t_2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x_3, x_4 = \pm \sqrt{1} \]Sus raíces son: \(x_1 = -\sqrt{2},\;x_2 = \sqrt{2},\;x_3 = -1,\;x_4 = 1\)
No tiene A.V. (El dominio es \(\mathbb{R}\))
Buscamos la Asíntota horizontal:
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \]Aplicamos factor común \(x^3\):
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^3(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}) \]Reemplazamos \(x\) por \(-\infty\) y resolvemos:
\[(-\infty)^3(1 - \frac{3}{-\infty} + \frac{2}{(-\infty)^2} + \frac{1}{(-\infty)^3}) = -\infty \] \[(-\infty)(1 - 0 + 0 + 0) = -\infty \]Ahora hacemos lo mismo para \(+\infty\):
\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = x^3(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}) \]Reemplazamos \(x\) por \(+\infty\) y resolvemos:
\[(+\infty)^3(1 - \frac{3}{+\infty} + \frac{2}{(+\infty)^2} + \frac{1}{(+\infty)^3}) = +\infty \] \[(+\infty)(1 - 0 + 0 + 0) = +\infty \]No tiene A.H. (No finitos)
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f'\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
Puntos críticos:
Igualamos a \(0\):
\[3x^2 - 6x + 2 = 0 \]Aplicamos Bhaskara:
\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} \]Reducimos la fracción:
\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \] \[x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \]Sus puntos críticos son: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3},\;x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}\)
Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada:
\[3(x-(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}))(x-(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) > 0\;\lor\;3(x-(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}))(x-(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})) < 0 \](Nota: en este caso el dominio son todos los reales, si no fuera el caso, omitimos los valores que no están definidos en los intervalos)
Máximo Local:
\[x_c = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \] \[\begin{aligned} f\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right) & = \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right) + 1 \\ & = \frac{(3 - \sqrt{3})^3}{27} - \frac{3(3 - \sqrt{3})^2}{9} + \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{27 - 27\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 9}{27} - \frac{3(9 - 6\sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{18 - 18\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 18}{27} - \frac{27 - 18\sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \frac{-27\sqrt{3}}{27} - \frac{9\sqrt{3}}{9} + \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = -\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1 \\ & = 3 - 3\sqrt{3}. \end{aligned} \]El máximo local es \(A = (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, 3 - 3\sqrt{3})\)
Mínimo Local:
\[x_c = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \] \[\begin{aligned} f\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) & = \left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) + 1 \\ & = \frac{(3 + \sqrt{3})^3}{27} - \frac{3(3 + \sqrt{3})^2}{9} + \frac{2(3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{27 + 27\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 9}{27} - \frac{3(9 + 6\sqrt{3} + 3)}{9} + \frac{2(3 + \sqrt{3})}{3} + 1 \\ & = \frac{18 + 18\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 18}{27} - \frac{27 + 18\sqrt{3} + 9}{9} + \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \frac{27\sqrt{3}}{27} - \frac{9\sqrt{3}}{9} + \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} + 1 \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 \\ & = 3 + 3\sqrt{3}. \end{aligned} \]El mínimo local es \(B = (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, 3 + 3\sqrt{3})\)
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f''\)
\(f''(x) = 6x - 6\)
En este caso no hay raíces, por lo que buscamos un único punto de inflexión y definimos intervalos:
\[6x - 6 = 0 \] \[x = \frac{6}{6} = 1 \]Su punto de inflexión es: \(x_c = 1\)
Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada segunda:
2.
Realizar un análisis completo de la función: \(f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\)
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f\)
\(Dom\;f(x) = \mathbb{R} - \{1\}\) (Es una función racional)
Es par o impar?
\[f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x - 1} = \frac{x^2}{-x - 1} \] \[f(x) \neq f(-x) \] \[-f(x) = -\frac{x^2}{x - 1} \] \[f(x) \neq -f(x) \]Por lo tanto, no es par ni impar
Ordenada al origen: \(= 0\)
Sus raíces son: \(x_1 = 0\)
A.V.: \(x = 1\)
Buscamos la Asíntota horizontal:
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \]Aplicamos factor común \(x^2\):
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = x^2(\frac{1}{x - 1}) \]Reemplazamos \(x\) por \(-\infty\) y resolvemos:
\[(-\infty)^2(\frac{1}{-\infty - 1}) = +\infty \] \[(+\infty)(\frac{1}{-\infty - 1}) = -\infty \]Ahora hacemos lo mismo para \(+\infty\):
\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = x^2(\frac{1}{x - 1}) \]Reemplazamos \(x\) por \(+\infty\) y resolvemos:
\[(+\infty)^2(\frac{1}{+\infty - 1}) = +\infty \] \[(+\infty)(\frac{1}{+\infty - 1}) = +\infty \]No tiene A.H. (No finitos)
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f'\)
\(f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\)
Puntos críticos:
Igualamos a \(0\):
\[\frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[x(x - 2) = 0 \] \[x_1 = 0 \] \[x_2 = 2 \]Sus puntos críticos son: \(x_1 = 0,\;x_2 = 2\)
Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada:
Mínimo Local:
\[x_c = 0 \] \[f(0) = \frac{0^2}{0 - 1} = 0 \]El mínimo local es \(A = (0, 0)\)
INFORMACIÓN A PARTIR DE \(f''\)
\(f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3}\)
En este caso no hay raíces, por lo que buscamos un único punto de inflexión y definimos intervalos:
\[\frac{2}{(x - 1)^3} = 0 \]No tiene solución, por lo que no tiene puntos de inflexión.
Ahora, nos interesa ver los signos de la derivada segunda: