Sucesiones

Una sucesión infinita de números reales definida como \(a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) es una función que asigna a cada número natural \(n\) un número real \(a_n\).

Se denota como \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) o \(\{a_n\}\).

Si evaluamos en un número \(n\) se obtiene el término \(n\)-ésimo de la sucesión, por ejemplo:

\[\displaystyle{\{a_n\}_{n=1}^{\infty}} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\} \\ \] \[\begin{array}{l} a(1) = a_1 = 1 \\ a(2) = a_2 = 2 \\ a(n) = a_n = n \end{array} \]

Ejemplos:

\(\{1, 2, 3, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = n\)
\(\{1, 4, 9, 16, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = n^2\)
\(\{(-1), 1, (-1), 1, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = (-1)^{n}\)
\(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = \frac{1}{n}\)

Dada una función \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) su restricción de \(f\) a \(\mathbb{N}\) es una sucesión.

Límite de una sucesión

Una sucesión \(\{a_n\}\) con límite \(\ell \in \mathbb{R}\) se escribe: \(\;\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell \;,\;\underset{n \to \infty}{a_n \to \ell}\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell \iff \forall\;\epsilon > 0, \; \exists\; n_0 \in \mathbb{N}\;\) tal que \(|a_n - \ell| < \epsilon, \; \forall \; n \geq n_0 \)

Una sucesión \(\{a_n\}\), decimos que \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \infty\) si los términos de la sucesión crecen indefinidamente y
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = -\infty\) si los términos de la sucesión decrecen indefinidamente.

Si el \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n\) es finito, decimos que la sucesión es convergente, en caso contrario, decimos que la sucesión es divergente.

Propiedades de los límites de sucesiones

Sean \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) dos sucesiones convergentes y \(c \in \mathbb{R}\), entonces:

\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (a_n \pm b_n) = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \pm \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (a_n \cdot b_n) = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \cdot \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (c \cdot a_n) = c \cdot \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n}{\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n}\), si \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n \neq 0\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = 0 \iff \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} |a_n| = 0\)

Teorema - Relación entre límite de funciones y sucesiones

Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \infty}} f(x) = \ell\;\land\;a_n = f(n) \implies \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell\)
\((\;\forall\;n \geq n_0,\;n_0 \in \mathbb{N})\)

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

\[\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \;,\;a_n = \frac{ln(n)}{n} \]

Aún no podemos conseguir el límite, pero podemos calcular el límite de la función \(f(x) = \frac{ln(x)}{x}\):

\[\displaystyle{\lim_{x \to \infty}} f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to \infty}} \frac{ln(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 \]

En este caso se aplica la Regla de L’Hôpital, ya que el límite es de la forma \(\frac{0}{0}\).

Existen algunas sucesiones con límites notables:

\[\begin{array}{l} \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; (\frac{1}{r})^{n} \; = 0, \; r \in \mathbb{R} \\ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; (1 + \frac{1}{n})^n \; = \; e \\ \end{array} \]

Teorema - Relación de límites entre sucesiones

Sea \(\{a_n\}\) una sucesión tal que \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = a\) y \(f\) continua en \(a\), entonces: \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} f(a_n) = f(a) = f(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n)\)

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

\[a_n = e^{\frac{1}{n}} \]

Sabemos que \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; \frac{1}{n} = 0\) y que \(x = 0\) es un valor continuo en la función exponencial, por lo que podemos aplicar el teorema:

\[\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; e^{\frac{1}{n}} = e^0 = 1 \]

Teorema del Sandwich para sucesiones

Sean \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\) tres sucesiones tales que \(\forall\;n \geq n_0, \;n_0 \in \mathbb{N}\) se cumple que
\(a_n \leq b_n \leq c_n, \; \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} c_n = \ell \implies \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n = \ell\)

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

\[\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \;,\;a_n = \frac{cos(n)}{n} \]

Para aplicar el teorema del sandwich, se puede considerar las sucesiones, analizamos alrededor del coseno:

\[ -1 \leq cos(n) \leq 1 \\ \]

Dividimos entre \(n\):

\[ -\frac{1}{n} \leq \frac{cos(n)}{n} \leq \frac{1}{n} \]

Calculamos el límite de las sucesiones:

\[\begin{array}{l} \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} -\frac{1}{n} = 0 \\ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0 \end{array} \implies \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{cos(n)}{n} = 0 \]

Sucesiones crecientes y decrecientes

Decimos que \(\{a_n\}\) es:

Creciente si \(a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n\)
Estrictamente creciente si \(a_n < a_{n+1}, \; \forall n\)
Decreciente si \(a_n \geq a_{n+1}, \; \forall n\)
Estrictamente decreciente si \(a_n > a_{n+1}, \; \forall n\)
Monótona si es creciente o decreciente.

Sucesiones acotadas

Acotada superiormente si \(\exists\;M \in \mathbb{R}\) tal que \(a_n \leq M, \; \forall n\)
Acotada inferiormente si \(\exists\;M \in \mathbb{R}\) tal que \(a_n \geq M, \; \forall n\)
Acotada si \(\exists\;M \in \mathbb{R}\) tal que \(|a_n| \leq M, \; \forall n\)

Si \({\{a_n\}}\) es convergente \(\implies\) es acotada.

Máximos y Mínimos

Todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene una menor cota superior y todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene una mayor cota inferior.

Sea \(A \subset \mathbb{R}, \; A \neq \emptyset\):

Si \(A\) es acotado sup., la menor cota superior se llama supremo y se denota como \(sup(A)\).
Si \(sup(A) \in A\), lo llamamos máximo.
Si \(A\) es acotado inf., la mayor cota inferior se llama ínfimo y se denota como \(inf(A)\).
Si \(inf(A) \in A\), lo llamamos mínimo.

Teorema de Sucesiones Acotadas

Si \(\{a_n\}\) es creciente y acotada superiormente \(\implies \{a_n\}\) converge y \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = sup\{a_n\}\)
Si \(\{a_n\}\) es decreciente y acotada inferiormente \(\implies \{a_n\}\) converge y \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = inf\{a_n\}\)

Subsucesiones

Una subsucesión de \(\{a_n\}\) es una sucesión \(\{a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, ...\} = \{a_{nj}\}_{j=1}^{\infty}\;\) donde \(\;n_1 < n_2 < n_3 < ...\)

Supongamos que tenemos una sucesión \(\{a_n\}\) donde \(a_n = n\)

\[{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ... } = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } \]

Si tomamos una subsucesión de los términos impares:

\[\{ a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, ... \} = \{ a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, a_{n_4}, a_{n_5}, ... \} \\ \]

Cada elemento de la subsucesión es un término impar de la sucesión original, es decir:

\[\begin{array}{l} a_{n_1} = 1 \\ a_{n_2} = 3 \\ a_{n_3} = 5 \\ a_{n_4} = 7 \\ a_{n_5} = 9 \\ ... \end{array} \]

Podríamos definir la subsucesión como: \(\;a_{n_j} = 2j - 1 \;\;(j \in \mathbb{N})\)

Teorema de Subsucesiones

Si \(\{a_n\}\) es convergente, entonces toda subsucesión de \(\{a_n\}\) es convergente y su límite es el mismo que el de la sucesión original.

Por ejemplo:

\[\{ \frac{1}{n} \}, \; \{ \frac{1}{2j-1}\} \]

Podemos expresar ambas como:

\[a_n = \frac{1}{n}, \; a_{n_j} = \frac{1}{2j-1} \]

Ahora, evaluamos el límite de la sucesión original:

\[\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; \frac{1}{n} = 0 \implies \displaystyle{\lim_{j \to \infty}} \; \frac{1}{2j-1} = 0 \]

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.