Sucesiones

Una sucesión infinita de números reales definida como $a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función que asigna a cada número natural $n$ un número real $a_n$.

Se denota como $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ o $\{a_n\}$.

Si evaluamos en un número $n$ se obtiene el término $n$-ésimo de la sucesión, por ejemplo:

Ejemplos:

• $\{1, 2, 3, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = n$
• $\{1, 4, 9, 16, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = n^2$
• $\{(-1), 1, (-1), 1, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = (-1)^{n}$
• $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\} ,\; \{a_n\} ,\; a_n = \frac{1}{n}$

Dada una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ su restricción de $f$ a $\mathbb{N}$ es una sucesión.

Límite de una sucesión

Una sucesión $\{a_n\}$ con límite $\ell \in \mathbb{R}$ se escribe: $\;\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell \;,\;\underset{n \to \infty}{a_n \to \ell}$

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell \iff \forall\;\epsilon > 0, \; \exists\; n_0 \in \mathbb{N}\;$ tal que $|a_n - \ell| < \epsilon, \; \forall \; n \geq n_0$

Una sucesión $\{a_n\}$, decimos que $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \infty$ si los términos de la sucesión crecen indefinidamente y
$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = -\infty$ si los términos de la sucesión decrecen indefinidamente.

Si el $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n$ es finito, decimos que la sucesión es convergente, en caso contrario, decimos que la sucesión es divergente.

Propiedades de los límites de sucesiones

Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ dos sucesiones convergentes y $c \in \mathbb{R}$, entonces:

1. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (a_n \pm b_n) = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \pm \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n$

2. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (a_n \cdot b_n) = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \cdot \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n$

3. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (c \cdot a_n) = c \cdot \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n$

4. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n}{\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n}$, si $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n \neq 0$

5. $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = 0 \iff \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} |a_n| = 0$

Teorema - Relación entre límite de funciones y sucesiones

Si $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}} f(x) = \ell\;\land\;a_n = f(n) \implies \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \ell$
$(\;\forall\;n \geq n_0,\;n_0 \in \mathbb{N})$

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

Aún no podemos conseguir el límite, pero podemos calcular el límite de la función $f(x) = \frac{ln(x)}{x}$:

En este caso se aplica la Regla de L’Hôpital, ya que el límite es de la forma $\frac{0}{0}$.

Existen algunas sucesiones con límites notables:

Teorema - Relación de límites entre sucesiones

Sea $\{a_n\}$ una sucesión tal que $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = a$ y $f$ continua en $a$, entonces: $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} f(a_n) = f(a) = f(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n)$

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

Sabemos que $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \; \frac{1}{n} = 0$ y que $x = 0$ es un valor continuo en la función exponencial, por lo que podemos aplicar el teorema:

Teorema del Sandwich para sucesiones

Sean $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ tres sucesiones tales que $\forall\;n \geq n_0, \;n_0 \in \mathbb{N}$ se cumple que
$a_n \leq b_n \leq c_n, \; \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} c_n = \ell \implies \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} b_n = \ell$

Ejemplo:

Calcular el límite de la sucesión:

Para aplicar el teorema del sandwich, se puede considerar las sucesiones, analizamos alrededor del coseno:

Dividimos entre $n$:

Calculamos el límite de las sucesiones:

Sucesiones crecientes y decrecientes

Decimos que $\{a_n\}$ es:

• Creciente si $a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n$
• Estrictamente creciente si $a_n < a_{n+1}, \; \forall n$
• Decreciente si $a_n \geq a_{n+1}, \; \forall n$
• Estrictamente decreciente si $a_n > a_{n+1}, \; \forall n$
• Monótona si es creciente o decreciente.

Sucesiones acotadas

• Acotada superiormente si $\exists\;M \in \mathbb{R}$ tal que $a_n \leq M, \; \forall n$
• Acotada inferiormente si $\exists\;M \in \mathbb{R}$ tal que $a_n \geq M, \; \forall n$
• Acotada si $\exists\;M \in \mathbb{R}$ tal que $|a_n| \leq M, \; \forall n$

Si ${\{a_n\}}$ es convergente $\implies$ es acotada.

Máximos y Mínimos

Todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene una menor cota superior y todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene una mayor cota inferior.

Sea $A \subset \mathbb{R}, \; A \neq \emptyset$:

• Si $A$ es acotado sup., la menor cota superior se llama supremo y se denota como $sup(A)$.
  Si $sup(A) \in A$, lo llamamos máximo.

• Si $A$ es acotado inf., la mayor cota inferior se llama ínfimo y se denota como $inf(A)$.
  Si $inf(A) \in A$, lo llamamos mínimo.

Teorema de Sucesiones Acotadas

• Si $\{a_n\}$ es creciente y acotada superiormente $\implies \{a_n\}$ converge y $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = sup\{a_n\}$

• Si $\{a_n\}$ es decreciente y acotada inferiormente $\implies \{a_n\}$ converge y $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n = inf\{a_n\}$

Subsucesiones

Una subsucesión de $\{a_n\}$ es una sucesión $\{a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, ...\} = \{a_{nj}\}_{j=1}^{\infty}\;$ donde $\;n_1 < n_2 < n_3 < ...$

Supongamos que tenemos una sucesión $\{a_n\}$ donde $a_n = n$

Si tomamos una subsucesión de los términos impares:

Cada elemento de la subsucesión es un término impar de la sucesión original, es decir:

Podríamos definir la subsucesión como: $\;a_{n_j} = 2j - 1 \;\;(j \in \mathbb{N})$

Teorema de Subsucesiones

Si $\{a_n\}$ es convergente, entonces toda subsucesión de $\{a_n\}$ es convergente y su límite es el mismo que el de la sucesión original.

Por ejemplo:

Podemos expresar ambas como:

Ahora, evaluamos el límite de la sucesión original:

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.