Matrices

Sean $m, n \in \NN$ . El conjunto de las matrices de $m$ filas y $n$ columnas con coeficientes en un cuerpo $\KK$ es

\KK^{m \times n} = \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \; & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \mid a_{ij} \in \KK, \; 1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n \right\}

Operaciones y Propiedades de Matrices

Igualdad de Matrices

Sean $A, B \in \KK^{m \times n}$ . Decimos que $A = B \iff A_{ij} = B_{ij}\;$ donde $1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n$ .

Operaciones con Matrices

Pueden definirse la suma de matrices $\KK^{m \times n}$ y la acción de producto por escalares de $\KK$ en $\KK^{m \times n}$ de la siguiente manera:

\begin{aligned} + &: \KK^{m \times n} \times \KK^{m \times n} \to \KK^{m \times n}, \; (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \quad (1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n) \\ \cdot &: \KK \times \KK^{m \times n} \to \KK^{m \times n}, \; (\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot A_{ij} \quad (1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n) \end{aligned}

Tenemos que $(\KK^{m \times n}, +, \cdot)$ es un $\KK$ -espacio vectorial.

Dados $A \in \KK^{m \times n}, \; B \in \KK^{n \times r}$ , El producto de $A$ por $B$ es la matriz $C \in \KK^{m \times r}$ definida por:

C_{ij} = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}} A_{ik} \cdot B_{kj} \quad (1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq r)

Propiedades del Producto de Matrices

P1) Asociatividad: Para $A \in \KK^{m \times n}, \; B \in \KK^{n \times r}, \; C \in \KK^{r \times s}$ , se cumple que $(AB)C = A(BC)$ .
P2) Matriz Identidad: Sean $n \in \NN, \; I_n \in \KK^{n \times n}$ la matriz identidad, definida por:

I_n = \begin{cases} 1 & \text{si} \quad i = j \\ 0 & \quad i \not= j \end{cases}

Para $A \in \KK^{m \times n}$ , se verifica: $I_m \cdot A = A$ y $A \cdot I_n = A$ .

P3) Distributividad:

1) Para $A \in \KK^{m \times n}, \; B, C \in \KK^{n \times r}$ , se cumple que $A(B + C) = AB + AC$ .
2) Para $A, B \in \KK^{m \times n}, \; C \in \KK^{n \times r}$ , se cumple que $(A + B)C = AC + BC$ .

Matriz canónica

Sean $m, n \in \NN$ y $1 \leq k \leq m, \; 1 \leq l \leq n$ . Las matrices canónicas $E^{kl} \in \KK^{m \times n}$ son definidas por:

(E^{kl})_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si} \quad i = k \; \land \; j = l \\ 0 & \text{en caso contrario} \end{cases}

K-álgebra

Sea $K$ un cuerpo y $A$ un conjunto con operaciones $+, \cdot$ y una acción $\cdot_\KK$ de $\KK$ en $A$ .
Se dice que $A$ es una $\KK$ -álgebra si se cumplen las siguientes condiciones:

$(A, +, \cdot)$ es un anillo.
$(A, +, \cdot_\KK)$ es un $\KK$ -espacio vectorial.
$(\lambda \cdot_\KK X) \cdot Y = \lambda \cdot_\KK (X \cdot Y) = X \cdot (\lambda \cdot_\KK Y), \; \forall X, Y \in A, \; \forall \lambda \in \KK$ .

Matriz Transpuesta

Sea $A \in \KK^{m \times n}$ . La matriz transpuesta de $A$ , denotada por $A^t$ , es la matriz en $\KK^{n \times m}$ definida por
$(A^t)_{ij} = A_{ji}, \; 1 \leq i \leq n, \; 1 \leq j \leq m$ .

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \implies A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

Traza de una Matriz

Sea $A \in \KK^{n \times n}$ . La traza de $A$ se nota por $tr(A)$ y se define como: $tr(A) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}} A_{ii}$ .

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \implies tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Matriz Invertible

Sea $A \in \KK^{n \times n}$ . Se dice que $A$ es invertible $\exists B \in \KK^{n \times n}$ tal que $AB = BA = I_n$ .
En este caso, $B$ es la matriz inversa de $A$ y se denota como $B = A^{-1}$

Matriz Elemental

Una matriz $n \times n$ es elemental si se obtiene por una única operación elemental a partir de la matriz identidad $Id_n$ . Todas las matrices elementales son invertibles.