Derivadas
Definición y Fórmula
La derivada es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto \(a\).
Es la razón de cambio instantáneo de la función en un punto \(a\).
Tomemos la siguiente función:
La recta azul es una recta secante que une dos puntos de la función. Siendo \(h\) la distancia que hay entre estos dos puntos.
Si quisieramos saber la pendiente de la recta secante, podríamos calcularlo de la siguiente forma:
\[m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]La recta secante corta en dos puntos, pero queremos saber la pendiente en \(a\), por lo que hacemos que \(h\) tienda a \(0\):
De manera tal que la recta tienda a ser tangente en el punto \(a\) (\(h \neq 0\), pero la diferencia es muy pequeña):
\[m = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]La pendiente de la recta tangente a la función en el punto \(a\) es la derivada de \(f(a)\):
\[f'(a) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]Si quisieramos saber la derivada para la generalidad y no solo en \(a\), calculamos la derivada de \(f(x)\):
\[f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Derivadas Laterales
Se define la derivada a izquierda de \(f\) en \(a\) cuando \(h\) tiende a \(0^-\) y se denota \(f'^-(a)\)
Se define la derivada a derecha de \(f\) en \(a\) cuando \(h\) tiende a \(0^+\) y se denota \(f'^+(a)\)\
Teorema - Derivadas Laterales
Para que \(f\) sea derivable en \(a\) es necesario que las derivadas laterales existan y sean iguales:
\(f'(a) \iff f'^-(a) = f'^+(a)\)
Tabla de Derivadas y Reglas de Derivación
Hay distintas reglas para derivar funciones, y la tabla nos permite derivar funciones más rapidamente:
Tabla de Derivadas
Reglas de Derivación
Ejercicios resueltos - Derivadas por definición
1.
Dar la derivada de \(f(x) = 5x + 3\) por definición:
\[f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Sustituimos \(f(x)\) por \(5x + 3\) y \(f(x+h)\) por \((5x + 3) + h\):
\[f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{(5x + 3) + h - (5x + 3)}{h} \]Restamos:
\[f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h}{h} \]Simplificamos:
\[f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; 1 = 1 \]2.
Dar la derivada de \(g(x) = \sqrt{x + 2}\) por definición:
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \]Sustituimos \(g(x)\) por \(\sqrt{x + 2}\) y \(g(x+h)\) por \(\sqrt{(x + 2) + h}\):
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\sqrt{x + 2 + h} - \sqrt{x + 2}}{h} \]Multiplicamos por el conjugado:
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\sqrt{x + 2 + h} - \sqrt{x + 2}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}} \]Resolvemos:
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{x + 2 + h - (x + 2)}{h \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)} \]Restamos en el numerador:
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h}{h \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)} \]Simplificamos:
\[g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\cancel{h}}{\cancel{h} \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)} = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{1}{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}} \]Luego, sustituimos \(h\) por \(0\):
\[g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 + 0} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \]3.
Dar la derivada de \(h(x) = \frac{2}{x + 2}\) por definición:
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h(x+h) - h(x)}{h} \]Sustituimos \(h(x)\) por \(\frac{2}{x + 2}\) y \(h(x+h)\) por \(\frac{2}{(x + 2) + h}\):
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2}{(x + 2) + h} - \frac{2}{x + 2}}{h} \]Restamos bajo un común denominador:
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2(x+2) - 2(x + 2 + h)}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h} \]Resolvemos:
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2x + 4 - 2x - 2h - 4}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h} \]Simplificamos:
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{-2h}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h} \]Sustituimos \(h\) por \(\frac{h}{1}\):
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{-2h}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{\frac{h}{1}} \]Resolvemos la división de fracciones y simplificamos:
\[h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{-2\cancel{h}}{\cancel{h}(x + 2 + h)(x + 2)} \]Finalmente, sustituimos \(h\) por \(0\):
\[h'(x) = \frac{-2}{(x + 2 + 0)(x + 2)} = \frac{-2}{(x + 2)^2} \]Ejercicios resueltos - Cálculo de derivadas
1.
Dada la función \(f(x) = x^2 + 2x + 1\), calcular \(f'(x)\) y simplificar lo más posible.
Para esta función, sustituimos \(x^2\) por \(2x\) (potencia menos uno) y \(2x\) por \(2\) (potencia menos uno) y \(1\) por \(0\) (constante):
\[f'(x) = 2x^{2-1} + 2 \cdot 2x^{1-1} + 0 = 2x + 2 \]2.
Dada la función \(f(x) = |3x+2|\), comprobar si \(f\) es derivable en \(2\).
Para eso comparamos las derivadas laterales de la función en \(2\). Primero, calculamos \(f'^-(2)\):
\[f'^-(2) = 1\cdot-3x^{-1} - 0 = 1\cdot-3 = -3 \]Luego, calculamos \(f'^+(2)\):
\[f'^+(2) = 1\cdot3x^{-1} - 0 = 1\cdot3 = 3 \]Como \(f'^-(2) \neq f'^+(2)\), \(f\) no es derivable en \(-2\).
3.
Calcular la derivada de \(f(x) = (x^2+1)^\frac{1}{3}\):
Aplicamos la regla de la cadena:
\[f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(x^2+1\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \left(2x+0\right) \]Resolvemos:
\[f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(x^2+1\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2x \]Si el exponente es una fracción negativa, invertimos:
\[f'(x) = \frac{2x}{3\left(x^2+1\right)^{\frac{2}{3}}} \]4.
Calcular la derivada de \(g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\):
En este caso, podemos reexpresar la función como \(g(x) = x^{-\frac{1}{3}}\) y aplicar la regla de la cadena:
\[g'(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}-1} \cdot 1 \]Resolvemos:
\[g'(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \]El resultado final es:
\[g'(x) = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}} \]5.
Calcular la derivada de \(h(x) = x^3 \ln(x^2-1)\):
Aplicamos la regla del producto:
\[h'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x^2-1) + x^3 \cdot \frac{1}{x^2-1} \cdot 2x \]Resolvemos:
\[h'(x) = 3x^2\ln(x^2-1) + \frac{2x^4}{x^2-1} \]6.
Calcular la derivada de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - 3x^2\):
Aplicamos la regla de la resta:
\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x - 6x \]Resolvemos la potencia:
\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x - 6x \]Multiplicamos:
\[f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} - 6x \]Simplificamos:
\[f'(x) = \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}x\sqrt{^2+1}} - 6x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 6x \]7.
Calcular la derivada de \(f(x) = \cos(x^2+1)\):
Aplicamos la regla de la cadena:
\[f'(x) = -\sin(x^2+1) \cdot \left(2x+0\right) \]Resolvemos:
\[f'(x) = -2x\sin(x^2+1) \]Derivada Segunda (de orden superior)
La derivada segunda es la derivada de la derivada: \(f''(x) = \left(f'(x)\right)'\)
Ecuación de la Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente a la función \(f\) en el punto \(a\) es:
\(y = Ax + B\) donde \(A = f'(a), \; B = f(a) - A \cdot a\)
También puede calcularse \(B\) reemplazando \(x\) e \(y\) por los valores de un punto.
Ejercicios resueltos - Ecuación de la recta tangente
1.
Calcular la ecuación de la recta tangente a la función \(f(x) = x^2 + 2x + 1\) en el punto \(a = 2\):
Primero, calculamos \(f'(x)\):
\[f'(x) = 2x + 2 \]Luego, calculamos \(f'(2)\):
\[f'(2) = 2\cdot2 + 2 = 6 \]El valor de la pendiente de la recta tangente es \(6\). Ahora, calculamos \(f(2)\):
\[f(2) = 2^2 + 2\cdot2 + 1 = 9 \]Armamos la ecuación de la recta tangente:
\[y = Ax + B \implies y = 6x + (9 - 6\cdot2) \implies y = 6x - 3 \]2.
Calcular la ecuación de la recta tangente a la función \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\) en el punto \(a = 3\):
Primero, calculamos \(f'(x)\):
\[f'(x) = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \]Luego, calculamos \(f'(3)\):
\[f'(3) = \frac{-3}{(3-2)^2} = -3 \]El valor de la pendiente de la recta tangente es \(-3\). Ahora, calculamos \(f(3)\):
\[f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4 \]Armamos la ecuación de la recta tangente:
\[y = Ax + B \implies y = -3x + (4 - (-3)\cdot3) \implies y = -3x + 13 \]Aproximación Lineal
Podemos aproximar una función \(f\) en un punto \(x\) con la recta tangente a la función en ese punto:
\(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\)
(\(x_0\) es el punto de aproximación).
Ejercicios resueltos - Aproximación lineal
1.
Tomar el valor aproximado a \(\sqrt{26}\).
Definamos la función \(f(x) = \sqrt{x}\). Primero, necesitamos un valor \(x_0\) para aproximar. En este caso, podemos tomar \(x_0 = 25\).
Luego, calculamos \(f(x_0)\):
\[f(x_0) = \sqrt{25} = 5 \]Ahora, calculamos \(f'(x)\) (regla de la cadena):
\[f'(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} \]Seguimos resolviendo (regla de la potencia):
\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]Ahora calculamos \(f'(x_0)\), es decir \(f'(25)\):
\[f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} \]Podemos armar la aproximación lineal alrededor de \(x_0 = 25\):
\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \implies f(26) \approx 5 + \frac{1}{10}(26-25) \]Resolvemos:
\[f(26) \approx 5 + \frac{1}{10} \approx 5.1 \]El resultado original es \(5.09901951359\), por lo que la aproximación lineal es bastante buena.
2.
Tomar el valor aproximado a \(\sqrt{4.1}\).
Definamos la función \(f(x) = \sqrt{x}\). Primero, necesitamos un valor \(x_0\) para aproximar. En este caso, podemos tomar \(x_0 = 4\).
Luego, calculamos \(f(x_0)\):
\[f(x_0) = \sqrt{4} = 2 \]Ahora, calculamos \(f'(x)\) (regla de la cadena):
\[f'(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} \]Seguimos resolviendo (regla de la potencia):
\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]Ahora calculamos \(f'(x_0)\), es decir \(f'(4)\):
\[f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \]Podemos armar la aproximación lineal alrededor de \(x_0 = 4\):
\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \implies f(4.1) \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1-4) \]Resolvemos:
\[f(4.1) \approx 2 + \frac{1}{4}(\frac{1}{10}) \approx 2.025 \]El resultado original es \(2.02484567313\), por lo que la aproximación lineal es bastante buena.
Regla de L’Hôpital
Si \(\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = 0 \;\lor\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = \infty\)
Entonces: \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Corolario de la Regla de L’Hôpital
Cuando \(f\) es continua en \(a\) y derivable en un intervalo abierto (no necesariamente en \(a\)):
1] Si \(f'\) tiene límite en \(a\), entonces \(f'(a) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f'(x)\)
2] Si \(\nexists\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f'(x)\), entonces \(f\) no es derivable en \(a\).
Ejercicios resueltos - Regla de L’Hôpital
1.
Calcular \(\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x}\):
Primero, sustituimos \(x\) por \(0\):
\[\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \]Como el límite es indeterminado, podemos aplicar la regla de L’Hôpital:
\[\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = 1 \]2.
Es \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) derivable en \(0\)?
Primero, veamos si \(f\) es continua en \(0\)
\[\begin{array}{ll} f(0) = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; f(x) = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; f(x) = 0 \end{array} \]Luego, veamos si \(f'\) tiene límite en \(0\). Para eso definimos \(f'(x)\):
\[f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} \]Ahora veamos si \(f'\) tiene límite en \(0\):
\[\displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; f'(x) = \displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = +\infty \\ \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; f'(x) = \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = -\infty \]Para cualquiera de los limites laterales, \(f'\) diverge en \(0\), por lo que \(f\) no es derivable en \(0\).