Derivadas

Definición y Fórmula

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto $a$ .
Es la razón de cambio instantáneo de la función en un punto $a$ .

Tomemos la siguiente función:

La recta azul es una recta secante que une dos puntos de la función. Siendo $h$ la distancia que hay entre estos dos puntos.

Si quisieramos saber la pendiente de la recta secante, podríamos calcularlo de la siguiente forma:

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

La recta secante corta en dos puntos, pero queremos saber la pendiente en $a$ , por lo que hacemos que $h$ tienda a $0$ :

De manera tal que la recta tienda a ser tangente en el punto $a$ ( $h \neq 0$ , pero la diferencia es muy pequeña):

m = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

La pendiente de la recta tangente a la función en el punto $a$ es la derivada de $f(a)$ :

f'(a) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Si quisieramos saber la derivada para la generalidad y no solo en $a$ , calculamos la derivada de $f(x)$ :

f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Derivadas Laterales

Se define la derivada a izquierda de $f$ en $a$ cuando $h$ tiende a $0^-$ y se denota $f'^-(a)$
Se define la derivada a derecha de $f$ en $a$ cuando $h$ tiende a $0^+$ y se denota $f'^+(a)$ \

Teorema - Derivadas Laterales

Para que $f$ sea derivable en $a$ es necesario que las derivadas laterales existan y sean iguales:
$f'(a) \iff f'^-(a) = f'^+(a)$

Tabla de Derivadas y Reglas de Derivación

Hay distintas reglas para derivar funciones, y la tabla nos permite derivar funciones más rapidamente:

Tabla de Derivadas

Función	Derivada
$c$	$0$
$x^n,\; n\in\mathbb{Z}$	$n \cdot x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln(x),\; x>0$	$\frac{1}{x}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos(x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan(x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

Reglas de Derivación

Suma	$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$
Resta	$(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)$
Producto	$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
Cociente	$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$
Regla de la Cadena	$\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Función Inversa	$\left(f^{-1}(x)\right)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Ejercicios resueltos - Derivadas por definición

Dar la derivada de $f(x) = 5x + 3$ por definición:

f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Sustituimos $f(x)$ por $5x + 3$ y $f(x+h)$ por $(5x + 3) + h$ :

f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{(5x + 3) + h - (5x + 3)}{h}

Restamos:

f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h}{h}

Simplificamos:

f'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; 1 = 1

Dar la derivada de $g(x) = \sqrt{x + 2}$ por definición:

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{g(x+h) - g(x)}{h}

Sustituimos $g(x)$ por $\sqrt{x + 2}$ y $g(x+h)$ por $\sqrt{(x + 2) + h}$ :

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\sqrt{x + 2 + h} - \sqrt{x + 2}}{h}

Multiplicamos por el conjugado:

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\sqrt{x + 2 + h} - \sqrt{x + 2}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}}

Resolvemos:

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{x + 2 + h - (x + 2)}{h \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)}

Restamos en el numerador:

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h}{h \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)}

Simplificamos:

g'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\cancel{h}}{\cancel{h} \left(\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}\right)} = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{1}{\sqrt{x + 2 + h} + \sqrt{x + 2}}

Luego, sustituimos $h$ por $0$ :

g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 + 0} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}

Dar la derivada de $h(x) = \frac{2}{x + 2}$ por definición:

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{h(x+h) - h(x)}{h}

Sustituimos $h(x)$ por $\frac{2}{x + 2}$ y $h(x+h)$ por $\frac{2}{(x + 2) + h}$ :

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2}{(x + 2) + h} - \frac{2}{x + 2}}{h}

Restamos bajo un común denominador:

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2(x+2) - 2(x + 2 + h)}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h}

Resolvemos:

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{2x + 4 - 2x - 2h - 4}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h}

Simplificamos:

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{-2h}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{h}

Sustituimos $h$ por $\frac{h}{1}$ :

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{\frac{-2h}{(x + 2 + h)(x + 2)}}{\frac{h}{1}}

Resolvemos la división de fracciones y simplificamos:

h'(x) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{-2\cancel{h}}{\cancel{h}(x + 2 + h)(x + 2)}

Finalmente, sustituimos $h$ por $0$ :

h'(x) = \frac{-2}{(x + 2 + 0)(x + 2)} = \frac{-2}{(x + 2)^2}

Ejercicios resueltos - Cálculo de derivadas

Dada la función $f(x) = x^2 + 2x + 1$ , calcular $f'(x)$ y simplificar lo más posible.

Para esta función, sustituimos $x^2$ por $2x$ (potencia menos uno) y $2x$ por $2$ (potencia menos uno) y $1$ por $0$ (constante):

f'(x) = 2x^{2-1} + 2 \cdot 2x^{1-1} + 0 = 2x + 2

Dada la función $f(x) = |3x+2|$ , comprobar si $f$ es derivable en $2$ .

Para eso comparamos las derivadas laterales de la función en $2$ . Primero, calculamos $f'^-(2)$ :

f'^-(2) = 1\cdot-3x^{-1} - 0 = 1\cdot-3 = -3

Luego, calculamos $f'^+(2)$ :

f'^+(2) = 1\cdot3x^{-1} - 0 = 1\cdot3 = 3

Como $f'^-(2) \neq f'^+(2)$ , $f$ no es derivable en $-2$ .

Calcular la derivada de $f(x) = (x^2+1)^\frac{1}{3}$ :

Aplicamos la regla de la cadena:

f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(x^2+1\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \left(2x+0\right)

Resolvemos:

f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(x^2+1\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2x

Si el exponente es una fracción negativa, invertimos:

f'(x) = \frac{2x}{3\left(x^2+1\right)^{\frac{2}{3}}}

Calcular la derivada de $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ :

En este caso, podemos reexpresar la función como $g(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ y aplicar la regla de la cadena:

g'(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}-1} \cdot 1

Resolvemos:

g'(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}

El resultado final es:

g'(x) = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}

Calcular la derivada de $h(x) = x^3 \ln(x^2-1)$ :

Aplicamos la regla del producto:

h'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x^2-1) + x^3 \cdot \frac{1}{x^2-1} \cdot 2x

Resolvemos:

h'(x) = 3x^2\ln(x^2-1) + \frac{2x^4}{x^2-1}

Calcular la derivada de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - 3x^2$ :

Aplicamos la regla de la resta:

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x - 6x

Resolvemos la potencia:

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x - 6x

Multiplicamos:

f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} - 6x

Simplificamos:

f'(x) = \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}x\sqrt{^2+1}} - 6x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 6x

Calcular la derivada de $f(x) = \cos(x^2+1)$ :

Aplicamos la regla de la cadena:

f'(x) = -\sin(x^2+1) \cdot \left(2x+0\right)

Resolvemos:

f'(x) = -2x\sin(x^2+1)

Derivada Segunda (de orden superior)

La derivada segunda es la derivada de la derivada: $f''(x) = \left(f'(x)\right)'$

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a la función $f$ en el punto $a$ es:
$y = Ax + B$ donde $A = f'(a), \; B = f(a) - A \cdot a$
También puede calcularse $B$ reemplazando $x$ e $y$ por los valores de un punto.

Ejercicios resueltos - Ecuación de la recta tangente

Calcular la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = x^2 + 2x + 1$ en el punto $a = 2$ :

Primero, calculamos $f'(x)$ :

f'(x) = 2x + 2

Luego, calculamos $f'(2)$ :

f'(2) = 2\cdot2 + 2 = 6

El valor de la pendiente de la recta tangente es $6$ . Ahora, calculamos $f(2)$ :

f(2) = 2^2 + 2\cdot2 + 1 = 9

Armamos la ecuación de la recta tangente:

y = Ax + B \implies y = 6x + (9 - 6\cdot2) \implies y = 6x - 3

Calcular la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ en el punto $a = 3$ :

Primero, calculamos $f'(x)$ :

f'(x) = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}

Luego, calculamos $f'(3)$ :

f'(3) = \frac{-3}{(3-2)^2} = -3

El valor de la pendiente de la recta tangente es $-3$ . Ahora, calculamos $f(3)$ :

f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4

Armamos la ecuación de la recta tangente:

y = Ax + B \implies y = -3x + (4 - (-3)\cdot3) \implies y = -3x + 13

Aproximación Lineal

Podemos aproximar una función $f$ en un punto $x$ con la recta tangente a la función en ese punto:
$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
( $x_0$ es el punto de aproximación).

Ejercicios resueltos - Aproximación lineal

Tomar el valor aproximado a $\sqrt{26}$ .

Definamos la función $f(x) = \sqrt{x}$ . Primero, necesitamos un valor $x_0$ para aproximar. En este caso, podemos tomar $x_0 = 25$ .

Luego, calculamos $f(x_0)$ :

f(x_0) = \sqrt{25} = 5

Ahora, calculamos $f'(x)$ (regla de la cadena):

f'(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}}

Seguimos resolviendo (regla de la potencia):

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ahora calculamos $f'(x_0)$ , es decir $f'(25)$ :

f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10}

Podemos armar la aproximación lineal alrededor de $x_0 = 25$ :

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \implies f(26) \approx 5 + \frac{1}{10}(26-25)

Resolvemos:

f(26) \approx 5 + \frac{1}{10} \approx 5.1

El resultado original es $5.09901951359$ , por lo que la aproximación lineal es bastante buena.

Tomar el valor aproximado a $\sqrt{4.1}$ .

Definamos la función $f(x) = \sqrt{x}$ . Primero, necesitamos un valor $x_0$ para aproximar. En este caso, podemos tomar $x_0 = 4$ .

Luego, calculamos $f(x_0)$ :

f(x_0) = \sqrt{4} = 2

Ahora, calculamos $f'(x)$ (regla de la cadena):

f'(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}}

Seguimos resolviendo (regla de la potencia):

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ahora calculamos $f'(x_0)$ , es decir $f'(4)$ :

f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}

Podemos armar la aproximación lineal alrededor de $x_0 = 4$ :

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \implies f(4.1) \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1-4)

Resolvemos:

f(4.1) \approx 2 + \frac{1}{4}(\frac{1}{10}) \approx 2.025

El resultado original es $2.02484567313$ , por lo que la aproximación lineal es bastante buena.

Regla de L’Hôpital

Si $\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = 0 \;\lor\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; g(x) = \infty$

Entonces: $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Corolario de la Regla de L’Hôpital

Cuando $f$ es continua en $a$ y derivable en un intervalo abierto (no necesariamente en $a$ ):
1] Si $f'$ tiene límite en $a$ , entonces $f'(a) = \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f'(x)$
2] Si $\nexists\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f'(x)$ , entonces $f$ no es derivable en $a$ .

Ejercicios resueltos - Regla de L’Hôpital

Calcular $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x}$ :

Primero, sustituimos $x$ por $0$ :

\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0}

Como el límite es indeterminado, podemos aplicar la regla de L’Hôpital:

\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\sin(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = 1

Es $f(x) = \sqrt[3]{x}$ derivable en $0$ ?

Primero, veamos si $f$ es continua en $0$

\begin{array}{ll} f(0) = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; f(x) = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; f(x) = 0 \end{array}

Luego, veamos si $f'$ tiene límite en $0$ . Para eso definimos $f'(x)$ :

f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}

Ahora veamos si $f'$ tiene límite en $0$ :

\displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; f'(x) = \displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \displaystyle{\lim_{x \to ^+0}} \; \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = +\infty \\ \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; f'(x) = \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \displaystyle{\lim_{x \to ^-0}} \; \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = -\infty

Para cualquiera de los limites laterales, $f'$ diverge en $0$ , por lo que $f$ no es derivable en $0$ .

Continuidad Análisis de Funciones