Valor Absoluto o Módulo
\[|x| = \begin{cases} x,\;x \geq 0 \\ -x ,\;x < 0 \end{cases} \]El valor absoluto o módulo de un número se define como la distancia del número a cero en la recta numérica. Se representa con dos barras verticales alrededor del número:
Teoremas - Valor Absoluto
- \(|a| = \sqrt{a^2}\)
- \(|a|^2 = a^2\)
- \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)
- \(|a + b| \leq |a| + |b|\)
- \(|a - b| = |b - a|\)
Ecuaciones con Valor Absoluto
Por cada módulo se generan dos ecuaciones distintas, por ejemplo:
\[|x + 3| = 5 \] \[|x + 3| = \begin{cases} x + 3,\;x + 3 \geq 0 \\ -(x + 3) ,\;x + 3 < 0 \end{cases} \]Resolviendo el primer caso, \(x + 3 \geq 0\), se obtiene:
\[x + 3 = 5 \]Restando 3 a ambos miembros da el resultado:
\[x = 2 \]Es necesario verificar que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(2 + 3 \geq 0\). Como se cumple, la solución es válida.
Queda pendiente resolver el segundo caso, \(x + 3 < 0\):
\[-(x + 3) = 5 \]Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:
\[-x - 3 = 5 \]Restando 5 y sumando \(x\) a ambos miembros:
\[-8 = x \]Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(-8 + 3 < 0\). Como se cumple, la segunda solución es válida.
La solución final es la unión de ambas soluciones: \(x = 2 \land x = -8\).
Ejercicios resueltos - Ecuaciones con Valor Absoluto
1.
\[|x - 2| = 3 \]Para resolverlo necesitamos considerar los casos posibles:
\[|x - 2| = \begin{cases} x - 2,\;x - 2 \geq 0 \\ -(x - 2) ,\;x - 2 < 0 \end{cases} \]Ahora resolvemos cada caso:
\[x - 2 = 3 \]Sumando 2 a ambos miembros:
\[x = 5 \]Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(5 - 2 \geq 0\). Como se cumple, la primera solución es válida.
Queda pendiente resolver el segundo caso, \(x - 2 < 0\):
\[-(x - 2) = 3 \]Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:
\[-x + 2 = 3 \]Restando 2 y sumando \(x\) a ambos miembros:
\[1 = x \]Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(1 - 2 < 0\). Como se cumple, la segunda solución es válida.
La solución final es la unión de ambas soluciones: \(x = 5 \land x = 1\).
2.
\[|x + 1| = |x-3| \]Podemos elevar al cuadrado ambos miembros.
\[(|x + 1|)^2 = (|x-3|)^2 \]Quedarían en:
\[(x + 1)^2 = (x-3)^2 \]Igualamos a 0, restamos \((x-3)^2\) a ambos miembros:
\[(x + 1)^2 - (x-3)^2 = 0 \]Aplicamos binomio al cuadrado:
\[x^2 + 2x + 1 - x^2 + 6x - 9 = 0 \]El resultado es:
\[8x - 8 = 0 \]Dividiendo por 8 ambos miembros:
\[x - 1 = 0 \]Sumando 1 a ambos miembros:
\[x = 1 \]3.
\[|x - 1| = 1 - x \]Para resolverlo necesitamos considerar los casos posibles:
\[|x - 1| = \begin{cases} x - 1,\;x - 1 \geq 0 \\ -(x - 1) ,\;x - 1 < 0 \end{cases} \]Ahora resolvemos cada caso:
\[x - 1 = 1 - x \]Sumando \(x\) a ambos miembros:
\[2x - 1 = 1 \]Sumando 1 a ambos miembros:
\[2x = 2 \]Dividiendo por 2 ambos miembros:
\[x = 1 \]Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(1 - 1 \geq 0\). Como se cumple, la primera solución es válida.
Queda pendiente resolver el segundo caso, \(x - 1 < 0\):
\[-(x - 1) = 1 - x \]Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:
\[-x + 1 = 1 - x \]Sumando \(x\) y restando 1 a ambos miembros:
\[0 = 0 \]Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que \(0 - 1 < 0\). Como se cumple, la segunda solución es válida para cualquier real.
La solución final es la unión de ambas soluciones: \(x = 1 \lor x < 1\)
Inecuaciones con Valor Absoluto
Los teoremas anteriores son importantes para resolver inecuaciones con módulos. Estas propiedades que permiten resolver inecuaciones con módulos fácilmente:
Propiedades - Valor Absoluto
- \(|x| < a \iff -a < x < a\)
- \(|x| > a \iff x < -a \lor x > a\)
También aplicables con \(\leq\), \(\geq\).
Ejercicios resueltos - Inecuaciones con Valor Absoluto
1.
\[|x - 2| < 3 \]Podemos aplicar la propiedad \(|x| < a \iff -a < x < a\):
\[-3 < x - 2 < 3 \]Sumando 2 a ambos miembros:
\[-1 < x < 5 \]Por lo tanto, \(x \in (-1, 5)\).
2.
\[|x - 4| > 2 \]Podemos aplicar la propiedad \(|x| > a \iff x < -a \lor x > a\):
\[x - 4 < -2 \lor x - 4 > 2 \]Sumando 4 a ambos miembros:
\[x < 2 \lor x > 6 \]Por lo tanto, \(x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)\).
3.
\[|x - 1| \leq |x + 4| \]Podemos elevar al cuadrado ambos miembros.
\[(|x - 1|)^2 \leq (|x + 4|)^2 \]Restamos \((|x + 4|)^2\) a ambos miembros:
\[(x - 1)^2 - (x + 4)^2 \leq 0 \]Aplicamos binomio al cuadrado:
\[x^2 - 2x + 1 - x^2 - 8x - 16 \leq 0 \]El resultado es:
\[-10x - 15 \leq 0 \]Dividiendo por -10 ambos miembros:
\[x + \frac{3}{2} \geq 0 \]Restando \(\frac{3}{2}\) a ambos miembros:
\[x \geq -\frac{3}{2} \]Por lo tanto, \(x \in [-\frac{3}{2}, \infty)\).