Valor Absoluto o Módulo

El valor absoluto o módulo de un número se define como la distancia del número a cero en la recta numérica. Se representa con dos barras verticales alrededor del número:

Teoremas - Valor Absoluto

• $|a| = \sqrt{a^2}$
• $|a|^2 = a^2$
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
• $|a + b| \leq |a| + |b|$
• $|a - b| = |b - a|$

Ecuaciones con Valor Absoluto

Por cada módulo se generan dos ecuaciones distintas, por ejemplo:

Resolviendo el primer caso, $x + 3 \geq 0$, se obtiene:

Restando 3 a ambos miembros da el resultado:

Es necesario verificar que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $2 + 3 \geq 0$. Como se cumple, la solución es válida.

Queda pendiente resolver el segundo caso, $x + 3 < 0$:

Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:

Restando 5 y sumando $x$ a ambos miembros:

Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $-8 + 3 < 0$. Como se cumple, la segunda solución es válida.

La solución final es la unión de ambas soluciones: $x = 2 \land x = -8$.

Ejercicios resueltos - Ecuaciones con Valor Absoluto

1.

Para resolverlo necesitamos considerar los casos posibles:

Ahora resolvemos cada caso:

Sumando 2 a ambos miembros:

Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $5 - 2 \geq 0$. Como se cumple, la primera solución es válida.

Queda pendiente resolver el segundo caso, $x - 2 < 0$:

Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:

Restando 2 y sumando $x$ a ambos miembros:

Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $1 - 2 < 0$. Como se cumple, la segunda solución es válida.

La solución final es la unión de ambas soluciones: $x = 5 \land x = 1$.

2.

Podemos elevar al cuadrado ambos miembros.

Quedarían en:

Igualamos a 0, restamos $(x-3)^2$ a ambos miembros:

Aplicamos binomio al cuadrado:

El resultado es:

Dividiendo por 8 ambos miembros:

Sumando 1 a ambos miembros:

3.

Para resolverlo necesitamos considerar los casos posibles:

Ahora resolvemos cada caso:

Sumando $x$ a ambos miembros:

Sumando 1 a ambos miembros:

Dividiendo por 2 ambos miembros:

Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $1 - 1 \geq 0$. Como se cumple, la primera solución es válida.

Queda pendiente resolver el segundo caso, $x - 1 < 0$:

Multiplicando por -1 el contenido del paréntesis:

Sumando $x$ y restando 1 a ambos miembros:

Verificando que la solución cumpla con la condición inicial, es decir, que $0 - 1 < 0$. Como se cumple, la segunda solución es válida para cualquier real.

La solución final es la unión de ambas soluciones: $x = 1 \lor x < 1$

Inecuaciones con Valor Absoluto

Los teoremas anteriores son importantes para resolver inecuaciones con módulos. Estas propiedades que permiten resolver inecuaciones con módulos fácilmente:

Propiedades - Valor Absoluto

• $|x| < a \iff -a < x < a$
• $|x| > a \iff x < -a \lor x > a$

También aplicables con $\leq$, $\geq$.

Ejercicios resueltos - Inecuaciones con Valor Absoluto

1.

Podemos aplicar la propiedad $|x| < a \iff -a < x < a$:

Sumando 2 a ambos miembros:

Por lo tanto, $x \in (-1, 5)$.

2.

Podemos aplicar la propiedad $|x| > a \iff x < -a \lor x > a$:

Sumando 4 a ambos miembros:

Por lo tanto, $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

3.

Podemos elevar al cuadrado ambos miembros.

Restamos $(|x + 4|)^2$ a ambos miembros:

Aplicamos binomio al cuadrado:

El resultado es:

Dividiendo por -10 ambos miembros:

Restando $\frac{3}{2}$ a ambos miembros:

Por lo tanto, $x \in [-\frac{3}{2}, \infty)$.