Series de Taylor y Polinomio de Taylor

Series de Taylor

Si $f$ se puede representar como una serie de potencias centrada en $a$ , es decir:

f(x) = C_0 + C_1(x-a) + C_2(x-a)^2 + C_3(x-a)^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} C_n(x-a)^n

Si evaluamos $f(a) = C_0$ .

Por lo anterior:

Si evaluamos $f'(a) = C_1$ .

De manera general, obtenemos $f^{(n)}(a) = n!\;C_n$ , donde $f^{(n)}$ es la derivada n-ésima de $f$ y $n!$

Definimos la Serie de Taylor de $f$ centrada en $a$ a la serie:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots

1) Para el caso de $a=0$ , la serie queda:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Y se denomina Serie de Maclaurin.

2) Si $f$ se puede representar como una serie de potencias centrada en $a$ , esa serie es la Serie de Taylor de $f$ centrada en $a$ .

Polinomio de Taylor

Sea $f$ tal que existen $f^{(n)}(a)$ , para $n \geq 0$ definimos el Polinomio de Taylor como:

T_{n,\; a}(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j

1) La n-ésima suma parcial de la serie de Taylor es el Polinomio de Taylor de grado $n$ .

2) $T_{1,a}$ es la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $(a, f(a))$

Resto de Taylor

Se define el Resto de Taylor de orden $n$ centrado en $a$ como:

R_{n,\; a}(x) = f(x) - T_{n,\; a}(x)

Teorema - Resto de Taylor

Sea $f$ una función tal que existe $f^{(n)}(a), \forall n \geq 0$ se cumple:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \iff \lim_{n \to \infty} R_{n,\; a}(x) = 0 \\ \forall x \in (a-c, a+c)

Fórmula de Lagrange para el Resto

Sea $f$ una función tal que existen $f^{(n+1)}(a)$ en un intervalo abierto $I$ donde $a \in I$ entonces para cada $x \in I$ existe entre $a$ y $x$ un número $t$ tal que:

R_{n,\; a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Llamamos fórmula de Taylor a:

f(x) = T_{n,\; a}(x) + R_{n,\; a}(x)

con $t$ entre $a$ y $x$ .

Series Cálculo Vectorial