Series de Taylor y Polinomio de Taylor
Series de Taylor
\[f(x) = C_0 + C_1(x-a) + C_2(x-a)^2 + C_3(x-a)^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} C_n(x-a)^n \]Si \(f\) se puede representar como una serie de potencias centrada en \(a\), es decir:
- Si evaluamos \(f(a) = C_0\).
Por lo anterior:
- Si evaluamos \(f'(a) = C_1\).
De manera general, obtenemos \(f^{(n)}(a) = n!\;C_n\), donde \(f^{(n)}\) es la derivada n-ésima de \(f\) y \(n!\)
Definimos la Serie de Taylor de \(f\) centrada en \(a\) a la serie:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]1) Para el caso de \(a=0\), la serie queda:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]Y se denomina Serie de Maclaurin.
2) Si \(f\) se puede representar como una serie de potencias centrada en \(a\), esa serie es la Serie de Taylor de \(f\) centrada en \(a\).
Polinomio de Taylor
\[T_{n,\; a}(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \]Sea \(f\) tal que existen \(f^{(n)}(a)\), para \(n \geq 0\) definimos el Polinomio de Taylor como:
1) La n-ésima suma parcial de la serie de Taylor es el Polinomio de Taylor de grado \(n\).
2) \(T_{1,a}\) es la recta tangente al gráfico de \(f\) en el punto \((a, f(a))\)
Resto de Taylor
\[R_{n,\; a}(x) = f(x) - T_{n,\; a}(x) \]Se define el Resto de Taylor de orden \(n\) centrado en \(a\) como:
Teorema - Resto de Taylor
Sea \(f\) una función tal que existe \(f^{(n)}(a), \forall n \geq 0\) se cumple:
\[\begin{gather} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \iff \lim_{n \to \infty} R_{n,\; a}(x) = 0 \\ \forall x \in (a-c, a+c) \end{gather} \]Fórmula de Lagrange para el Resto
\[R_{n,\; a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]Sea \(f\) una función tal que existen \(f^{(n+1)}(a)\) en un intervalo abierto \(I\) donde \(a \in I\) entonces para cada \(x \in I\) existe entre \(a\) y \(x\) un número \(t\) tal que:
Llamamos fórmula de Taylor a:
\[f(x) = T_{n,\; a}(x) + R_{n,\; a}(x) \]con \(t\) entre \(a\) y \(x\).