Integrales (AM1)

Antiderivadas (o primitivas)

Una función $F$ es una antiderivada de $f$ en un intervalo $I$ si $F'(x) = f(x)\;\forall x \in [a, b]$.

Si $F(x)$ es una antiderivada de $f$, $G(x) = F(x) + c$ también lo es para cualquier constante.

Ejemplo:

Encontrar la antiderivada de $f(x) = 4x^2$ que pasa por el punto $(1, 3)$.

Primero buscamos la antiderivada:

Luego, reemplazamos el punto $(1, 3)$:

Por lo tanto, la antiderivada que pasa por el punto $(1, 3)$ es: $F(x) = 2x^3 + 1$.

Integral Indefinida

La integral indefinida de $f$ es el conjunto de todas las antiderivadas de $f$. Se simboliza: $\int f(x) dx$.

Si $F(x)$ es una antiderivada de $f$, entonces la integral indefinida es el conjunto infinito de funciones $F(x) + c$:

Tabla de Integrales Indefinidas

Propiedades - Integrales Indefinidas

• $\int 0\;dx = c$
• $\int (f + g)(x)\;dx = \int f(x)\;dx + \int g(x)\;dx$
• $\int (f - g)(x)\;dx = \int f(x)\;dx - \int g(x)\;dx$
• $\int k\;f(x)\;dx = k \int f(x)\;dx$ ($k$ constante)

Integración por sustitución

Sea $F(x)$ la primitiva de $f(x)$ y $g(x)$ derivable: $\int f(g(x))\;g'(x)\;dx = F(g(x)) + c$

Ejemplo:

Para este método hacemos el cambio de variable $u = 2x$. Y definimos $du = 2\;dx$ (derivada de $u$).

Ahora podemos usar en la integral los valores de $u$ y $du$:

Integración por partes

Si $f'$ y $g'$ son continuas, entonces: $\int f(x)g'(x)\;dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\;dx$

Ejemplo:

Sabemos que $f(x) = \ln(x)$ y $g(x) = x$. Por lo tanto, $f'(x) = \frac{1}{x}$ y $g'(x) = 1$.

Ejercicios - Integrales Indefinidas

1.

Resolver por sustitución:

Para resolver esta integral, hacemos el cambio de variable:

Reemplazamos en la integral:

2.

Resolver por partes:

Identificamos $f, f'$ y $g, g'$:

Ahora, resolvemos por partes:

3. Resolver y obtener la primitiva $F$ de $f$ tal que $F(0) = 0$:

Definimos la integral:

Expandimos el término:

Ahora buscamos el valor de la constante $c$:

Por lo tanto, la primitiva de $f$ tal que $F(0) = 0$ es:

Integral Definida

La integral definida de $f$ en el intervalo $[a, b]$ es el área bajo la curva $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$. Se simboliza: $\int_a^b f(x)\;dx$. Los extremos del intervalo se llaman límite inferior y superior de integración.

La siguiente figura muestra el área bajo la curva $f(x) = x^2$ entre $x = -4$ y $x = 4$:

Propiedades - Integrales definidas

• $\int_a^a f(x)\;dx = 0$

• $\int_b^a k\;f(x)\;dx = k \int_b^a f(x)\;dx$ ($k$ constante)

• $\int_b^a f(x)\;dx = -\int_a^b f(x)\;dx$

• $\int_a^b (f + g)(x)\;dx = \int_a^b f(x)\;dx + \int_a^b g(x)\;dx$

• $\int_a^b (f - g)(x)\;dx = \int_a^b f(x)\;dx - \int_a^b g(x)\;dx$

• Si $f(x) \geq 0 \in [a, b]$, $\int_a^b f(x)\;dx \geq 0$

• Si $c \in \mathbb{R}$, $\int_a^b f(x)\;dx = \int_a^c f(x)\;dx + \int_c^b f(x)\;dx$

• Si $f(x) \leq g(x) \in [a, b]$, $\int_a^b f(x)\;dx \leq \int_a^b g(x)\;dx$

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Sea $f: [a, b] \Rightarrow\;\mathbb{R}$ continua y $F$:
$F(x) = \int_a^x f(t)\;dt\;\forall x \in [a, b]$

Entonces, $F$ es antiderivada de $f$ en $[a, b]$:
$F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\;dt = f(x)\;\forall x \in [a, b]$

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F$ es su antiderivada: $\int_a^b f(x)\;dx = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b$ (R. de Barrow)

Ejercicios - Integrales Definidas

1.

Resolver la siguiente integral definida:

Buscamos la antiderivada de $f(x) = x^2 - x$:

Aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo:

2.

Resolver la siguiente integral definida:

Buscamos la antiderivada de $f(x) = \sin(x)$:

Aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo:

Área entre dos curvas

Sean $f$ y $g$ tales que $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$, el área comprendida entre sus gráficos es: $\;\int_a^b (f(x) - g(x))\;dx$

Ejemplo:

$f(x) = x^2$ y $g(x) = x$ en $[0, 1]$

Se vería de la siguiente forma: