Integrales (AM1)
Antiderivadas (o primitivas)
Una función \(F\) es una antiderivada de \(f\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x) = f(x)\;\forall x \in [a, b]\).
Si \(F(x)\) es una antiderivada de \(f\), \(G(x) = F(x) + c\) también lo es para cualquier constante.
Ejemplo:
Encontrar la antiderivada de \(f(x) = 4x^2\) que pasa por el punto \((1, 3)\).
Primero buscamos la antiderivada:
\[F(x) = 2x^3 + c \]Luego, reemplazamos el punto \((1, 3)\):
\[3 = 2(1)^3 + c \implies c = 1 \]Por lo tanto, la antiderivada que pasa por el punto \((1, 3)\) es: \(F(x) = 2x^3 + 1\).
Integral Indefinida
La integral indefinida de \(f\) es el conjunto de todas las antiderivadas de \(f\). Se simboliza: \(\int f(x) dx\).
Si \(F(x)\) es una antiderivada de \(f\), entonces la integral indefinida es el conjunto infinito de funciones \(F(x) + c\):
\[\int f(x) \; dx = F(x) + c \]Tabla de Integrales Indefinidas
Propiedades - Integrales Indefinidas
- \(\int 0\;dx = c\)
- \(\int (f + g)(x)\;dx = \int f(x)\;dx + \int g(x)\;dx\)
- \(\int (f - g)(x)\;dx = \int f(x)\;dx - \int g(x)\;dx\)
- \(\int k\;f(x)\;dx = k \int f(x)\;dx\) (\(k\) constante)
Integración por sustitución
Sea \(F(x)\) la primitiva de \(f(x)\) y \(g(x)\) derivable: \(\int f(g(x))\;g'(x)\;dx = F(g(x)) + c\)
Ejemplo:
\[\int \sin(2x)2 \; dx \]Para este método hacemos el cambio de variable \(u = 2x\). Y definimos \(du = 2\;dx\) (derivada de \(u\)).
Ahora podemos usar en la integral los valores de \(u\) y \(du\):
\[\int \sin(2x)2\;dx = \int \sin(u)\;du = -\cos(u) + c = -\cos(2x) + c \]Integración por partes
Si \(f'\) y \(g'\) son continuas, entonces: \(\int f(x)g'(x)\;dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\;dx\)
Ejemplo:
\[\int \ln(x) \; dx \]Sabemos que \(f(x) = \ln(x)\) y \(g(x) = x\). Por lo tanto, \(f'(x) = \frac{1}{x}\) y \(g'(x) = 1\).
\[\int \ln(x)\;dx = x\ln(x) - \int x\;\frac{1}{x}\;dx = x\ln(x) - \int 1\;dx = x\ln(x) - x + c \]Ejercicios - Integrales Indefinidas
1.
Resolver por sustitución:
\[\int\frac{\sin(\sqrt{4x})}{\sqrt{x}}\;dx \]Para resolver esta integral, hacemos el cambio de variable:
\[u = \sqrt{4x} \implies du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\;dx \]Reemplazamos en la integral:
\[\int\frac{\sin(u)}{2}\;du = -\frac{\cos(u)}{2} + c = -\frac{\cos(\sqrt{4x})}{2} + c \]2.
Resolver por partes:
\[\int x\cos(x)\;dx \]Identificamos \(f, f'\) y \(g, g'\):
\[f(x) = x, f'(x) = 1 \\ g(x) = \sin(x), g'(x) = \cos(x) \]Ahora, resolvemos por partes:
\[\int x\cos(x)\;dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\;dx = x\sin(x) + \cos(x) + c \]3. Resolver y obtener la primitiva \(F\) de \(f\) tal que \(F(0) = 0\):
\[f(x) = (x + 1)^2 \]Definimos la integral:
\[F(x) = \int (x + 1)^2\;dx \]Expandimos el término:
\[F(x) = \int (x^2 + 2x + 1)\;dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + c \]Ahora buscamos el valor de la constante \(c\):
\[F(0) = 0 \implies 0 = \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 + c \implies c = 0 \]Por lo tanto, la primitiva de \(f\) tal que \(F(0) = 0\) es:
\[F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \]Integral Definida
La integral definida de \(f\) en el intervalo \([a, b]\) es el área bajo la curva \(y = f(x)\) entre \(x = a\) y \(x = b\).
Esta se simboliza: \(\int_a^b f(x)\;dx\). Los extremos del intervalo se llaman límite inferior y superior de integración.
La siguiente figura muestra el área bajo la curva \(f(x) = x^2\) entre \(x = -4\) y \(x = 4\):
Propiedades - Integrales definidas
-
\(\int_a^a f(x)\;dx = 0\)
-
\(\int_b^a k\;f(x)\;dx = k \int_b^a f(x)\;dx\) (\(k\) constante)
-
\(\int_b^a f(x)\;dx = -\int_a^b f(x)\;dx\)
-
\(\int_a^b (f + g)(x)\;dx = \int_a^b f(x)\;dx + \int_a^b g(x)\;dx\)
-
\(\int_a^b (f - g)(x)\;dx = \int_a^b f(x)\;dx - \int_a^b g(x)\;dx\)
-
Si \(f(x) \geq 0 \in [a, b]\), \(\int_a^b f(x)\;dx \geq 0\)
-
Si \(c \in \mathbb{R}\), \(\int_a^b f(x)\;dx = \int_a^c f(x)\;dx + \int_c^b f(x)\;dx\)
-
Si \(f(x) \leq g(x) \in [a, b]\), \(\int_a^b f(x)\;dx \leq \int_a^b g(x)\;dx\)
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Sea \(f: [a, b] \Rightarrow\;\mathbb{R}\) continua y \(F\):
\(F(x) = \int_a^x f(t)\;dt\;\forall x \in [a, b]\)
Entonces, \(F\) es antiderivada de \(f\) en \([a, b]\):
\(F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\;dt = f(x)\;\forall x \in [a, b]\)
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Si \(f\) es continua en \([a, b]\) y \(F\) es su antiderivada: \(\int_a^b f(x)\;dx = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b\) (R. de Barrow)
Ejercicios - Integrales Definidas
1.
Resolver la siguiente integral definida:
\[\int_0^1 (x^2 - x)\;dx \]Buscamos la antiderivada de \(f(x) = x^2 - x\):
\[F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + c \]Aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo:
\[\int_0^1 (x^2 - x)\;dx = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2})\Big|_0^1 = (\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \]2.
Resolver la siguiente integral definida:
\[\int_0^{\pi} \sin(x)\;dx \]Buscamos la antiderivada de \(f(x) = \sin(x)\):
\[F(x) = -\cos(x) + c \]Aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo:
\[\int_0^{\pi} \sin(x)\;dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2 \]Área entre dos curvas
Sean \(f\) y \(g\) tales que \(f(x) \geq g(x)\) en \([a, b]\), el área comprendida entre sus gráficos es: \(\;\int_a^b (f(x) - g(x))\;dx\)
Ejemplo:
\(f(x) = x^2\) y \(g(x) = x\) en \([0, 1]\)
\[\int_0^1 (x^2 - x)\;dx = \int_0^1 x^2\;dx - \int_0^1 x\;dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 - \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \]Se vería de la siguiente forma: