Funciones de varias variables

Una función $f$ de $n$ variables es una regla que asigna a cada $n$-tupla de números reales $\mathbf{\overline{x}} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ un único número real $f(\mathbf{\overline{x}}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$.

Podemos definir su dominio como:

La imagen como:

Su gráfica se define como:

Y por lo general, la notación usual es $z = f(x, y)$.

Ejemplo:

Dar el dominio de la función $f(x, y) = ln(x+y-2)$ y su imagen:

Para la imagen, si elegimos $x = 0$ tenemos que:

Si definimos una función $h(t) = ln(t - 2)$. Por la función logaritmo, independientemente de estar desplazada en el eje $x$, su imagen es $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $Im\;f$ es $\mathbb{R}$.

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Dado $r > 0$ y $\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n$, llamamos bola abierta de centro $\mathbf{\overline{a}}$ y radio $r$ al conjunto $B = \{ \mathbf{\overline{x}} \in \mathbb{R}^n , ||\mathbf{\overline{x}} - \mathbf{\overline{a}}|| < r \}$

• Si $n = 1$, $B(\mathbf{\overline{a}}, r)$ es intervalo abierto centrado en $\mathbf{\overline{a}}$ y de radio $r$.

• Si $n = 2$, $B(\mathbf{\overline{a}}, r)$ es un disco abierto centrado en $\mathbf{\overline{a}}$ y de radio $r$.

• Si $n = 3$, $B(\mathbf{\overline{a}}, r)$ es una bola centrada en $\mathbf{\overline{a}}$ y de radio $r$.

Límite

Sea $\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n$ y $f: Dom\;f \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, que incluye puntos arbitrarios cercanos a $\mathbf{\overline{a}}$ decimos:

Continuidad

Sea $f : Dom\;f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ y $\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n$, decimos que $f$ es continua en $\mathbf{\overline{a}}$ si:

Entonces, $f$ es continua si $f$ es continua en todo punto de su dominio. Valen propiedades similares a funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.

Derivadas parciales

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \; \land \; (a, b) \in \mathbb{R}^2$, si fijamos $b$, tenemos que $g(x) = f(x, b)$ es una función de una variable. Podemos considerar su derivada en $x = a$ como:

En general, para cualquier punto $(x, y)$, dejamos la variable $y$ fija y definimos la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ como:

• Si $n = 1$ tenemos que $f_{x_1}(a) = f'(a)$ (derivada ordinaria).

• Si $n = 2$ escribimos $f_x, f_y$ en lugar de $f_{x_1}, f_{x_2}$

• Si $n = 3$ escribimos $f_x, f_y, f_z$ en lugar de $f_{x_1}, f_{x_2}, f_{x_3}$

Si las derivadas parciales $f_{x_j}$ son continuas en $\mathbf{\overline{a}}$, $f$ es continua en $\mathbf{\overline{a}}$.

Plano tangente

Sea $f : Dom\;f \subseteq \mathbb{R}^2$ y $(a, b) \in Dom\;f$, el plano tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, b, f(a, b))$ es:

Ecuación vectorial:

Ecuación normal:

Ecuación de la recta normal al plano:

Curvas y superficies de nivel

Recta tangente a la curva de nivel $f$ que pasa por $(x_0, y_0)$:

Ecuación a la superficie de nivel:

Regla de la cadena

Al igual que funciones de una variable, podemos aplicar la regla de la cadena a funciones de varias variables. Tenemos dos casos posibles:

Caso 1:

Sea $f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \; \mathbf{\overline{a}} \in Dom \; f$ y tal que $\frac{\partial f}{\partial x_1}, \; \ldots, \; \frac{\partial f}{\partial x_n}$ existen y son continuas en $B(\mathbf{\overline{a}}, r)$
para algún $r > 0$

Para $1 \leq i \leq n$ y un intervalo $I \subseteq R$, sean $x_i : I \rightarrow \mathbb{R}$ funciones derivables $\forall t \in I$, la función
$g(t) = f(x_1(t), \ldots, x_n(t))$ es derivable en $t \in I$ y:

Caso 2:

Sea $f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \; \overline{a_1} \in Dom \; f$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x_1}, \; \frac{\partial f}{\partial x_2}$ existen y son continuas en $B(\overline{a_1}, r_1)$
para algún $r_1 > 0$

$x : Dom \; x \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ e $y : Dom \; y \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ son dos funciones con sus derivadas parciales continuas en $B(\overline{a_0}, r_0)$ para algún $r_0 > 0$, la función $g(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) \; \forall (s, t) \in B(\overline{a_0}, r_0)$ tiene derivadas parciales:

Derivada direccional

Decimos que la derivada direccional de $f$ en el punto $\mathbf{\overline{a}}$ en la dirección de $\overline{u}$ (siendo $||\overline{u}|| = 1$) es:

Si el vector $\overline{u}$ no es unitario, podemos definir $\overline{v} = \frac{\overline{u}}{||\overline{u}||}$ (unitario y en dirección de $\overline{u}$).

Podemos calcular la derivada direccional como:

El gradiente de $f$ en $\mathbf{\overline{a}}$ es el vector:

Dirección de tasa de mayor y menor crecimiento

Partiendo de un punto $P_0 = (x_0, y_0)$, podemos saber la dirección en la que $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ crece o decrece más rapido.

• La tasa de mayor crecimiento es en la dirección $\mathbf{\overline{u}} = \nabla f(x_0, y_0)$

• La tasa de menor crecimiento es en la dirección $\mathbf{\overline{u}} = -\nabla f(x_0, y_0)$

Derivada de orden 2

La cantidad de derivadas parciales de segundo orden dependerá de la cantidad de variables de la función. Para una función $f$ de $n$ variables, tenemos que:

Si $n=2$ hay $4$ posibilidades:

Si $n=3$ hay $9$ posibilidades:

$f_{xx}, f_{xy}, f_{xz}, f_{yx}, f_{yy}, f_{yz}, f_{zx}, f_{zy}, f_{zz}$

Punto crítico y funciones de dos variables

Sea $f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \; (x_0, y_0)$ es un punto crítico si $\nabla f(x_0, y_0) = (0, 0)$

Si $\nexists \; f_x(x_0, y_0) \lor \nexists \; f_y(x_0, y_0)$, $(x_0, y_0)$ es un punto singular.

Test de la derivada segunda

Sea $f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y $(x_0, y_0)$ un punto crítico. Definimos la matriz Hessiana de $f$ en $(x_0, y_0)$ como:

Podemos reexpresar la matriz Hessiana como:

• Si $D > 0$ y $f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \lor f_{yy}(x_0, y_0) > 0$, $(x_0, y_0)$ es un mínimo local.

• Si $D > 0$ y $f_{xx}(x_0, y_0) < 0 \lor f_{yy}(x_0, y_0) < 0$, $(x_0, y_0)$ es un máximo local.

• Si $D < 0$, $(x_0, y_0)$ es un punto de silla.

• Si $D = 0$, el test no es concluyente.