Funciones de varias variables

Una función \(f\) de \(n\) variables es una regla que asigna a cada \(n\)-tupla de números reales \(\mathbf{\overline{x}} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) un único número real \(f(\mathbf{\overline{x}}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\).

Podemos definir su dominio como:

\[Dom\;f = \{ \mathbf{\overline{x}} \in \mathbb{R}^n \mid f(\mathbf{\overline{x}}) \text{ está definida} \} \]

La imagen como:

\[Im\;f = \{ y \in \mathbb{R} \mid \exists \mathbf{\overline{x}} \in Dom\;f \mid y = f(\mathbf{\overline{x}}) \} \]

Su gráfica se define como:

\[G(f) = \{ (\mathbf{\overline{x}}, f(\mathbf{\overline{x}})) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \mathbf{\overline{x}} \in Dom\;f \} \]

Y por lo general, la notación usual es \(z = f(x, y)\).

Ejemplo:

Dar el dominio de la función \(f(x, y) = ln(x+y-2)\) y su imagen:

\[Dom\;f = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y - 2 > 0 \} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > 2 - x \} \]

Para la imagen, si elegimos \(x = 0\) tenemos que:

\[f(0, y) = ln(y - 2) \]

Si definimos una función \(h(t) = ln(t - 2)\). Por la función logaritmo, independientemente de estar desplazada en el eje \(x\), su imagen es \(\mathbb{R}\). Por lo tanto, \(Im\;f\) es \(\mathbb{R}\).

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Dado \(r > 0\) y \(\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n\), llamamos bola abierta de centro \(\mathbf{\overline{a}}\) y radio \(r\) al conjunto \(B = \{ \mathbf{\overline{x}} \in \mathbb{R}^n , ||\mathbf{\overline{x}} - \mathbf{\overline{a}}|| < r \}\)

Si \(n = 1\), \(B(\mathbf{\overline{a}}, r)\) es intervalo abierto centrado en \(\mathbf{\overline{a}}\) y de radio \(r\).
Si \(n = 2\), \(B(\mathbf{\overline{a}}, r)\) es un disco abierto centrado en \(\mathbf{\overline{a}}\) y de radio \(r\).
Si \(n = 3\), \(B(\mathbf{\overline{a}}, r)\) es una bola centrada en \(\mathbf{\overline{a}}\) y de radio \(r\).

Límite

Sea \(\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n\) y \(f: Dom\;f \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), que incluye puntos arbitrarios cercanos a \(\mathbf{\overline{a}}\) decimos:

\[\lim_{\mathbf{\overline{x}} \to \mathbf{\overline{a}}} f(\mathbf{\overline{x}}) = L \]

Continuidad

Sea \(f : Dom\;f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) y \(\mathbf{\overline{a}} \in \mathbb{R}^n\), decimos que \(f\) es continua en \(\mathbf{\overline{a}}\) si:

\[\mathbf{\overline{a}} \in Dom\;f \; \land \; \lim_{\mathbf{\overline{x}} \to \mathbf{\overline{a}}} f(\mathbf{\overline{x}}) = f(\mathbf{\overline{a}}) \]

Entonces, \(f\) es continua si \(f\) es continua en todo punto de su dominio. Valen propiedades similares a funciones continuas de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\).

Derivadas parciales

Sea \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \; \land \; (a, b) \in \mathbb{R}^2\), si fijamos \(b\), tenemos que \(g(x) = f(x, b)\) es una función de una variable. Podemos considerar su derivada en \(x = a\) como:

\[g'(a) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{g(a + h) - g(a)}{h} = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) \]

En general, para cualquier punto \((x, y)\), dejamos la variable \(y\) fija y definimos la derivada parcial de \(f\) con respecto a \(x\) como:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = f_x(x, y) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h} \]

Si \(n = 1\) tenemos que \(f_{x_1}(a) = f'(a)\) (derivada ordinaria).
Si \(n = 2\) escribimos \(f_x, f_y\) en lugar de \(f_{x_1}, f_{x_2}\)
Si \(n = 3\) escribimos \(f_x, f_y, f_z\) en lugar de \(f_{x_1}, f_{x_2}, f_{x_3}\)

Si las derivadas parciales \(f_{x_j}\) son continuas en \(\mathbf{\overline{a}}\), \(f\) es continua en \(\mathbf{\overline{a}}\).

Plano tangente

Sea \(f : Dom\;f \subseteq \mathbb{R}^2\) y \((a, b) \in Dom\;f\), el plano tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a, b, f(a, b))\) es:

Ecuación vectorial:

\[(x, y, z) = (a, b, f(a, b)) + t(1, 0, f_x(a, b)) + s(0, 1, f_y(a, b)) \]

Ecuación normal:

\[< (x, y, z) - (a, b, f(a, b)), (f_x(a, b), \; f_y(a, b), \; -1) > \; = \; 0 \] \[z = (x-a)\;f_x(a, b) + (y-b)\;f_y(a, b) + f(a, b) \]

Ecuación de la recta normal al plano:

\[(x, y, z) = t(f_x(a, b), f_y(a, b), 1) + (a, b, f(a, b)) \]

Curvas y superficies de nivel

Recta tangente a la curva de nivel \(f\) que pasa por \((x_0, y_0)\):

\[t(-f_y(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0)) + (x_0, y_0) \]

Ecuación a la superficie de nivel:

\[< (x, y, z) - (x_0, y_0, z_0), \; \nabla f(x_0, y_0, z_0) > \; = \; 0 \]

Regla de la cadena

Al igual que funciones de una variable, podemos aplicar la regla de la cadena a funciones de varias variables. Tenemos dos casos posibles:

Caso 1:

Sea \(f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \; \mathbf{\overline{a}} \in Dom \; f\) y tal que \(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \; \ldots, \; \frac{\partial f}{\partial x_n}\) existen y son continuas en \(B(\mathbf{\overline{a}}, r)\)
para algún \(r > 0\)

Para \(1 \leq i \leq n\) y un intervalo \(I \subseteq R\), sean \(x_i : I \rightarrow \mathbb{R}\) funciones derivables \(\forall t \in I\), la función
\(g(t) = f(x_1(t), \ldots, x_n(t))\) es derivable en \(t \in I\) y:

\[\frac{dg}{dt} = g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_1(t), \ldots, x_n(t)) \cdot x_1'(t) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} (x_1(t), \ldots, x_n(t)) \cdot x_n'(t) \]

Caso 2:

Sea \(f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \; \overline{a_1} \in Dom \; f\) tal que \(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \; \frac{\partial f}{\partial x_2}\) existen y son continuas en \(B(\overline{a_1}, r_1)\)
para algún \(r_1 > 0\)

\(x : Dom \; x \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) e \(y : Dom \; y \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) son dos funciones con sus derivadas parciales continuas en \(B(\overline{a_0}, r_0)\) para algún \(r_0 > 0\), la función \(g(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) \; \forall (s, t) \in B(\overline{a_0}, r_0)\) tiene derivadas parciales:

\[\frac{\partial g}{\partial s} (s, t) = \frac{\partial f}{\partial x} (x(s, t), y(s, t)) \cdot \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) + \frac{\partial f}{\partial y} (x(s, t), y(s, t)) \cdot \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \] \[\frac{\partial g}{\partial t} (s, t) = \frac{\partial f}{\partial x} (x(s, t), y(s, t)) \cdot \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) + \frac{\partial f}{\partial y} (x(s, t), y(s, t)) \cdot \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \]

Derivada direccional

Decimos que la derivada direccional de \(f\) en el punto \(\mathbf{\overline{a}}\) en la dirección de \(\overline{u}\) (siendo \(||\overline{u}|| = 1\)) es:

\[D_{\overline{u}} f(\mathbf{\overline{a}}) = \displaystyle{\lim_{h \to 0}} \; \frac{f(\overline{a_1} + hu_1, \ldots, a_n + hu_n) - f(a_1, \ldots, a_n)}{h} \]

Si el vector \(\overline{u}\) no es unitario, podemos definir \(\overline{v} = \frac{\overline{u}}{||\overline{u}||}\) (unitario y en dirección de \(\overline{u}\)).

Podemos calcular la derivada direccional como:

\[D_{\overline{u}} f(\mathbf{\overline{a}}) = \; < \nabla f(\mathbf{\overline{a}}), \overline{u} > \]

El gradiente de \(f\) en \(\mathbf{\overline{a}}\) es el vector:

\[\nabla f(\mathbf{\overline{a}}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (\mathbf{\overline{a}}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} (\mathbf{\overline{a}}) \right) \]

Dirección de tasa de mayor y menor crecimiento

Partiendo de un punto \(P_0 = (x_0, y_0)\), podemos saber la dirección en la que \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) crece o decrece más rapido.

La tasa de mayor crecimiento es en la dirección \(\mathbf{\overline{u}} = \nabla f(x_0, y_0)\)
La tasa de menor crecimiento es en la dirección \(\mathbf{\overline{u}} = -\nabla f(x_0, y_0)\)

Derivada de orden 2

La cantidad de derivadas parciales de segundo orden dependerá de la cantidad de variables de la función. Para una función \(f\) de \(n\) variables, tenemos que:

Si \(n=2\) hay \(4\) posibilidades:

\[(f_x)_x = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \] \[(f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[(f_y)_x = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \] \[(f_y)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

Si \(n=3\) hay \(9\) posibilidades:

\(f_{xx}, f_{xy}, f_{xz}, f_{yx}, f_{yy}, f_{yz}, f_{zx}, f_{zy}, f_{zz}\)

Punto crítico y funciones de dos variables

Sea \(f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \; (x_0, y_0)\) es un punto crítico si \(\nabla f(x_0, y_0) = (0, 0)\)

Si \(\nexists \; f_x(x_0, y_0) \lor \nexists \; f_y(x_0, y_0)\), \((x_0, y_0)\) es un punto singular.

Test de la derivada segunda

Sea \(f : Dom \; f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \((x_0, y_0)\) un punto crítico. Definimos la matriz Hessiana de \(f\) en \((x_0, y_0)\) como:

\[H_f(x_0, y_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\ f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \end{pmatrix} \]

Podemos reexpresar la matriz Hessiana como:

\[D(x_0, y_0) = f_{xx}(x_0, y_0) \cdot f_{yy}(x_0, y_0) - [f_{xy}(x_0, y_0)]^2 \]

Si \(D > 0\) y \(f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \lor f_{yy}(x_0, y_0) > 0\), \((x_0, y_0)\) es un mínimo local.
Si \(D > 0\) y \(f_{xx}(x_0, y_0) < 0 \lor f_{yy}(x_0, y_0) < 0\), \((x_0, y_0)\) es un máximo local.
Si \(D < 0\), \((x_0, y_0)\) es un punto de silla.
Si \(D = 0\), el test no es concluyente.