Integrales (AM2)
Para seguir con este tema, recomendamos repasarlo en la anterior materia: Integrales (AM1)
Integración de Funciones Racionales
Suponiendo que la función racional \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) satisface:
1. \(gr(P) < gr(Q)\) (grado del numerador menor que el grado del denominador)
2. El coeficiente que acompaña la potencia de mayor grado de \(Q(x)\) es distinto 1, de lo contrario:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...x+a_0} \]Sacamos factor común de \(n\):
\[\frac{P(x)}{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...x+a_0} = \frac{P(x)}{a_n(x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_0}{a_n})} \]Expresando \(\tilde{Q}(x) = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_0}{a_n}\), entonces:
\[\frac{\frac{P(x)}{a_n}}{\tilde{Q}(x)} = \frac{\tilde{P}(x)}{\tilde{Q}(x)} \]Donde \(\tilde{Q}(x)\) tal que \(\tilde{a_n}(x) = 1\) (es decir es mónico)
Teorema - Polinomios mónicos
Todo polinomio mónico se puede escribir como producto de polinomios de primer grado y polinomios de segundo grado (sin raíces reales).
Ejemplos:
1) \(x^3+2x^2-3x = x(x^2+2x-3) = x(x+3)(x-1)\)
2) \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)
3) \(3x^3 + 3x = 3x(x^2+1)\)
Casos de factorización del denominador
1) \(Q\) es producto de polinomios de grado \(1\) y todos distintos:
\[Q(x) = (x-r_1)(x-r_2)...(x-r_k),\;r_j \neq r_i,\; i \neq j \]Como en el caso de:
\[x^3+2x^2-3x = x(x^2+2x-3) = x(x+3)(x-1) \]Para cada polinomio de grado \(1\) buscamos constantes \(A_1, A_2, ..., A_k\) tales que:
\[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int \frac{A_1}{x-r_1} + \int \frac{A_2}{x-r_2} + ... + \int \frac{A_k}{x-r_k} \]Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
\[\int \frac{7x-1}{x^2-x-6}\;dx \]Tenemos que \(Q(x) = x^2-x-6 = (x-3)(x+2)\), entonces debemos hallar \(A_1, A_2\) tales que:
\[\frac{7x-1}{x^2-x-6} = \frac{A_1}{x-3} + \frac{A_2}{x+2} = \frac{A_1(x+2)+A_2(x-3)}{(x-3)(x+2)} \]Separamos lo que tenga \(x\) y lo que no:
\[\frac{7x-1}{x^2-x-6} = \frac{(A_1+A_2)x+(2A_1-3A_2)}{(x-3)(x+2)} \]Igualando los coeficientes de los numeradores:
\[7=A_1+A_2 \Rightarrow A_1=7-A_2 \] \[-1=2A_1-3A_2 \]Ahora reemplazamos \(A_1\) en la segunda ecuación:
\[\begin{align*} - 1&= 2(7-A_2)-3A_2 \\ -1 &= 14-2A_2-3A_2 \\ -15 &= -5A_2 \\ 3 &= A_2 \\ \end{align*} \]Determinamos el valor de \(A_1\):
\[A_1 = 7-A_2 = 7-3 = 4 \]Ahora podemos determinar la integral:
\[\int \frac{7x-1}{x^2-x-6}\;dx = \int \frac{4}{x-3}\;dx + \int \frac{3}{x+2}\;dx = 4\ln|x-3|+3\ln|x+2| + c \]2) \(Q\) es producto de polinomio de grado \(1\) todos iguales. Es decir, \(Q(x) = (x-r)^k\)
En este caso buscamos constantes \(A_1, A_2, ..., A_k\) tales que:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-r} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + ... + \frac{A_k}{(x-r)^k} \]Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
\[\int \frac{1-2x}{(x+2)^3}\;dx \]Escribimos que \(Q(x) = (x+2)^3\), entonces debemos hallar \(A_1, A_2, A_3\) tales que:
\[\frac{1-2x}{(x+2)^3} = \frac{A_1}{x+2} + \frac{A_2}{(x+2)^2} + \frac{A_3}{(x+2)^3} \]Por común denominador:
\[\frac{A_1(x+2)^2+A_2(x+2)+A_3}{(x+2)^3} = \frac{A_1(x^2+4x+4)+A_2(x+2)+A_3}{(x+2)^3} \]Volviendo a la fracción de nuestra integral
\[\frac{1-2x}{(x+2)^3} = \frac{A_1(x^2+4x+4)+A_2(x+2)+A_3}{(x+2)^3} \]Es importante notar que en este caso, \(P(x)\) no tiene un término \(x^2\), igualando los coeficientes tenemos:
\[0=A_1 \] \[-2=4A_1+A_2 \Rightarrow A_2=-2 \] \[1=4A_1+2A_2+A_3 \Rightarrow A_3=5 \]Ahora podemos determinar la integral:
\[\int \frac{1-2x}{(x+2)^3}\;dx = \int \frac{-2}{(x+2)^2}\; + \int \frac{5}{(x+2)^3}\;dx = \frac{2}{x+2} - \frac{5}{2(x+2)^2}+C \]3) \(Q\) es producto de polinomios de grado \(1\) y algunos se repiten:
\[Q(x) = (x-r_1)...(x-r_{i-1})(x-r_i)^{k_i}...(x-r_n)^{k_n} \]Debemos aplicar casos 1 y 2.
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
\[\int \frac{x^3-x+1}{x(x-2)(x-1)^3} \;dx \]Entonces buscamos constantes \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\) tales que:
\[\frac{x^3-x+1}{x(x-2)(x-1)^3} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-2} + \frac{A_3}{x-1} + \frac{A_4}{(x-1)^2} + \frac{A_5}{(x-1)^3} \]Bajo un común denominador:
\[= \frac{A_1(x-2)(x-1)^3+A_2x(x-1)^3+A_3x(x-2)(x-1)^2+A_4x(x-2)(x-1)+A_5x(x-2)}{x(x-2)(x-1)^3} \]Igualando los coeficientes de los numeradores:
\[A_1 = 1 \] \[-1 = -2A_1+A_2 \Rightarrow A_2 = -1 \] \[1 = -3A_1+3A_2+A_3 \Rightarrow A_3 = 1 \] \[0 = -3A_2+3A_3+A_4 \Rightarrow A_4 = 0 \] \[0 = -3A_3+A_4+A_5 \Rightarrow A_5 = 0 \]Ahora podemos determinar la integral:
\[\int \frac{x^3-x+1}{x(x-2)(x-1)^3}\;dx = \int \frac{1}{x}\;dx - \int \frac{1}{x-2}\;dx + \int \frac{1}{x-1}\;dx = \ln|x| - \ln|x-2| + \ln|x-1| + c \]4) \(Q\) es producto de factores \((x-r_i)^{k_i}\) y/o de polinomios grado \(2\) sin raíces reales y sin repetirse.
\[Q(x) = (x-r_1)^{k_1}...(x-r_n)^{k_n}(x^2+\alpha_1+\beta_1)...(x^2+\alpha_m x+\beta_m) \]En este caso, \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) se escribe como una suma donde por cada factor lineal aparecen términos como indican los casos 1 y 2, por cada factor cuadrático aparecen términos de la forma \(\frac{Bx+C}{x^2+\alpha x+\beta}\). Siendo \(B\) y \(C\) constantes a encontrar.
Nota: (El siguiente ejemplo NO tiene factores lineales)
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
Para integrar términos de la forma \(\frac{Bx+C}{x^2+\alpha x+\beta}\), debemos buscar constantes \(K_1, K_2\) tales que:
\[\frac{Bx+C}{x^2+\alpha x+\beta} = K_1\frac{2x+\alpha}{x^2+\alpha x + \beta} + K_2\frac{1}{x^2+\alpha x + \beta} \]Igualando los coeficientes de los numeradores obtenemos:
\[\begin{align*} K_1 &= \frac{B}{2} \\ K_2 &= C - K_1 \cdot \alpha \end{align*} \]En base a lo explicado, nuestro primer paso será identificar \(B, C, \alpha, \beta\):
\[\begin{align*} B &= 1 \\ C &= -1 \\ \alpha &= -4 \\ \beta &= 5 \end{align*} \]Entonces tenemos que:
\[\frac{x-1}{x^2-4x+5} = K_1 \frac{2x-4}{x^2-4+5} + K_2 \frac{1}{x^2-4+5} \]Ahora buscamos \(K_1, K_2\):
\[\begin{align*} K_1 &= \frac{1}{2} \\ K_2 &= -1 - \frac{1}{2} \cdot (-4) = 1 \end{align*} \]Sabiendo los valores de \(K_1\) y \(K_2\), podeemos reemplazar:
\[\int \frac{x-1}{x^2-4x+5}\;dx = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-4}{x^2-4+5}\;dx + \int \frac{1}{x^2-4+5}\;dx \]La primera integral se resuelve por sustitución:
\[u = x^2-4x+5 \Rightarrow du = (2x-4)dx \] \[\int \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-4}{x^2-4+5}\;dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + c = \frac{1}{2} \ln|x^2-4x+5| + c \]En la segunda integral, necesitamos tener la forma \(\int \frac{1}{y^2-a^2}\), para ello completamos cuadrado:
\[x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 \] \[\int \frac{1}{x^2-4x+5}\;dx = \int \frac{1}{(x-2)^2+1}\;dx \] \[u = x-2 \Rightarrow du = dx \]Usando sustitución llegamos a \(\int \frac{1}{y^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{y}{a})\)
\[\int \frac{1}{(x-2)^2+1}\;dx = \int \frac{1}{u^2+1}\;du = \arctan(u) + c = \arctan(x-2) + c \]Por lo que quedaría:
\[\int \frac{x-1}{x^2-4x+5}\;dx = \frac{1}{2} \ln|x^2-4x+5| + \arctan(x-2) + c \]Integrales Impropias
Una integral impropia es una integral definida en un intervalo infinito (no acotadas en \([a, b]\)) o donde haya una discontinuidad.
Integrales Impropias de tipo I
Aquellas donde la función es continua y al menos un límite de integración no es finito.
Definición: Sea \(a \in \mathbb{R}\),
- Si \(f\) continua en \([a, +\infty)\), entonces:
Si este límite existe y es finito, decimos que la integral converge. De lo contrario, la integral diverge.
- Si \(f\) continua en \((-\infty, a]\), entonces:
Diverge o converge según corresponda.
- Si \(f\) continua en \(\mathbb{R}\), definimos:
Es convergente si estas dos últimas lo son, y diverge si alguna de ellas diverge.
Ejemplo:
\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} \;dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} \;dx = \lim_{t \to \infty} -e^{-x} \Big|_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} -e^{-t} + e^0 = 1 \]\(-e^{- \infty}\) tiende a \(0\), \(e^{0}\) es un número finito, por lo que la integral converge.
Integrales Impropias de tipo II
Aquellas funciones de límites de integración finitos pero con una asíntota vertical en \(c \in [a, b]\).
Definición:
- Sea \(f\) continua en \([a, b)\) y \(\displaystyle \lim_{x \to b^-} f(x) = \pm\infty\), entonces:
Si este límite existe y es finito.
- Sea \(f\) continua en \((a, b]\) y \(\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty\), entonces:
Si este límite existe y es finito.
- Sea \(c \in (a, b)\), si \(f\) continua en \([a, c) \cup (c, b]\), y las integrales \(\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \;dx\) y \(\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \;dx\) son convergentes, entonces:
Si las integrales existen y son \(< \infty\), convergen.
Ejemplo:
\[\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \;dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x} \;dx = \lim_{t \to 0^+} \ln|x| \Big|_t^1 = \lim_{t \to 0^+} \ln|1| - \ln|t| = \lim_{t \to 0^+} -\ln|t| = +\infty \]Por lo que la integral diverge.
Criterio de Comparación
En algunos casos es difícil encontrar la primitiva de una función, por lo tanto esto complica saber si converge o diverge. Los siguientes criterios nos sirven para determinar la convergencia de una integral (sin hacer el cálculo directo):
Integrales Impropias de tipo I:
Sean \(f, g\) funciones continuas y \(a \in \mathbb{R}\):
-
Si \(|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [a, \infty]\),
\(\displaystyle \int_a^{\infty} g(x) \;dx\) converge \(\implies\) \(\displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \;dx\) converge.
\(\displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \;dx\) diverge \(\implies\) \(\displaystyle \int_a^{\infty} g(x) \;dx\) diverge. -
Si \(|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [-\infty, a]\),
\(\displaystyle \int_{-\infty}^a g(x) \;dx\) converge \(\implies\) \(\displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \;dx\) converge.
\(\displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \;dx\) diverge \(\implies\) \(\displaystyle \int_{-\infty}^a g(x) \;dx\) diverge.
Integrales Impropias de tipo II:
Sean \(f, g\) funciones continuas en \([a, b)\) tal que \(|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [a, b)\) y \(\displaystyle \lim_{x \to b^-} g(x) = \pm\infty\):
\(\displaystyle \int_a^b g(x) \;dx\) converge \(\implies\) \(\displaystyle \int_a^b f(x) \;dx\) converge.
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \;dx\) diverge \(\implies\) \(\displaystyle \int_a^b g(x) \;dx\) diverge.
Observación: Si en todos los casos \(f(x) \geq 0\) la hipótesis se reduce a \(f(x) \leq g(x)\).
Ejemplo:
Determinar si la siguiente integral converge o diverge:
\[\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2} \;dx \]No podemos calcular la primitiva de \(e^{-x^2}\) (no es una función elemental), por lo que usamos el teorema.
Notemos que:
\[\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2} \;dx = \displaystyle \int_0^1 e^{-x^2} \;dx + \displaystyle \int_1^\infty e^{-x^2} \;dx \]La primera integral converge, ya que \(f(x) = e^{-x^2}\) continua en \([0, 1]\).
Para ver la segunda integral, utilicemos el teorema:
En este caso estamos integrando para \(1 \leq x\) por lo que podemos establecer que:
\[\begin{align*} 1 &\leq x \\ 1 \cdot x &\leq x \cdot x \\ x &\leq x^2 \end{align*} \]Independientemente del valor de \(x\), si evaluamos \(e^x \leq e^{x^2} \implies e^{-x} \geq e^{-x^2}\).
Si definimos \(f(x) = e^{-x^2}\) y \(g(x) = e^{-x}\), entonces \(f(x) \leq g(x)\).
Ahora, nos interesa saber si \(g(x)\) converge o diverge:
\[\displaystyle \int_1^\infty e^{-x} \;dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t e^{-x} \;dx = \lim_{t \to \infty} -e^{-x} \Big|_1^t = \lim_{t \to \infty} -e^{-t} + e^{-1} = e^{-1} < \infty \]\(-e^{-\infty}\) tiende a \(0\), \(e^{-1}\) es un número finito, por lo que la integral converge.