Integrales (AM2)

Para seguir con este tema, recomendamos repasarlo en la anterior materia: Integrales (AM1)

Integración de Funciones Racionales

Suponiendo que la función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ satisface:

1. $gr(P) < gr(Q)$ (grado del numerador menor que el grado del denominador)

2. El coeficiente que acompaña la potencia de mayor grado de $Q(x)$ es distinto 1, de lo contrario:

Sacamos factor común de $n$:

Expresando $\tilde{Q}(x) = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_0}{a_n}$, entonces:

Donde $\tilde{Q}(x)$ tal que $\tilde{a_n}(x) = 1$ (es decir es mónico)

Teorema - Polinomios mónicos

Todo polinomio mónico se puede escribir como producto de polinomios de primer grado y polinomios de segundo grado (sin raíces reales).

Ejemplos:

1) $x^3+2x^2-3x = x(x^2+2x-3) = x(x+3)(x-1)$

2) $x^2-2x+1 = (x-1)^2$

3) $3x^3 + 3x = 3x(x^2+1)$

Casos de factorización del denominador

1) $Q$ es producto de polinomios de grado $1$ y todos distintos:

Como en el caso de:

Para cada polinomio de grado $1$ buscamos constantes $A_1, A_2, ..., A_k$ tales que:

Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

Tenemos que $Q(x) = x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$, entonces debemos hallar $A_1, A_2$ tales que:

Separamos lo que tenga $x$ y lo que no:

Igualando los coeficientes de los numeradores:

Ahora reemplazamos $A_1$ en la segunda ecuación:

Determinamos el valor de $A_1$:

Ahora podemos determinar la integral:

2) $Q$ es producto de polinomio de grado $1$ todos iguales. Es decir, $Q(x) = (x-r)^k$

En este caso buscamos constantes $A_1, A_2, ..., A_k$ tales que:

Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

Escribimos que $Q(x) = (x+2)^3$, entonces debemos hallar $A_1, A_2, A_3$ tales que:

Por común denominador:

Volviendo a la fracción de nuestra integral

Es importante notar que en este caso, $P(x)$ no tiene un término $x^2$, igualando los coeficientes tenemos:

Ahora podemos determinar la integral:

3) $Q$ es producto de polinomios de grado $1$ y algunos se repiten:

Debemos aplicar casos 1 y 2.

Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

Entonces buscamos constantes $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ tales que:

Bajo un común denominador:

Igualando los coeficientes de los numeradores:

Ahora podemos determinar la integral:

4) $Q$ es producto de factores $(x-r_i)^{k_i}$ y/o de polinomios grado $2$ sin raíces reales y sin repetirse.

En este caso, $\frac{P(x)}{Q(x)}$ se escribe como una suma donde por cada factor lineal aparecen términos como indican los casos 1 y 2, por cada factor cuadrático aparecen términos de la forma $\frac{Bx+C}{x^2+\alpha x+\beta}$. Siendo $B$ y $C$ constantes a encontrar.

Nota: (El siguiente ejemplo NO tiene factores lineales)
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

Para integrar términos de la forma $\frac{Bx+C}{x^2+\alpha x+\beta}$, debemos buscar constantes $K_1, K_2$ tales que:

Igualando los coeficientes de los numeradores obtenemos:

En base a lo explicado, nuestro primer paso será identificar $B, C, \alpha, \beta$:

Entonces tenemos que:

Ahora buscamos $K_1, K_2$:

Sabiendo los valores de $K_1$ y $K_2$, podeemos reemplazar:

La primera integral se resuelve por sustitución:

En la segunda integral, necesitamos tener la forma $\int \frac{1}{y^2-a^2}$, para ello completamos cuadrado:

Usando sustitución llegamos a $\int \frac{1}{y^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{y}{a})$

Por lo que quedaría:

Integrales Impropias

Una integral impropia es una integral definida en un intervalo infinito (no acotadas en $[a, b]$) o donde haya una discontinuidad.

Integrales Impropias de tipo I

Aquellas donde la función es continua y al menos un límite de integración no es finito.

Definición: Sea $a \in \mathbb{R}$,

• Si $f$ continua en $[a, +\infty)$, entonces:

Si este límite existe y es finito, decimos que la integral converge. De lo contrario, la integral diverge.

• Si $f$ continua en $(-\infty, a]$, entonces:

Diverge o converge según corresponda.

• Si $f$ continua en $\mathbb{R}$, definimos:

Es convergente si estas dos últimas lo son, y diverge si alguna de ellas diverge.

Ejemplo:

$-e^{- \infty}$ tiende a $0$, $e^{0}$ es un número finito, por lo que la integral converge.

Integrales Impropias de tipo II

Aquellas funciones de límites de integración finitos pero con una asíntota vertical en $c \in [a, b]$.

Definición:

• Sea $f$ continua en $[a, b)$ y $\displaystyle \lim_{x \to b^-} f(x) = \pm\infty$, entonces:

Si este límite existe y es finito.

• Sea $f$ continua en $(a, b]$ y $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$, entonces:

Si este límite existe y es finito.

• Sea $c \in (a, b)$, si $f$ continua en $[a, c) \cup (c, b]$, y las integrales $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \;dx$ y $\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \;dx$ son convergentes, entonces:

Si las integrales existen y son $< \infty$, convergen.

Ejemplo:

Por lo que la integral diverge.

Criterio de Comparación

En algunos casos es difícil encontrar la primitiva de una función, por lo tanto esto complica saber si converge o diverge. Los siguientes criterios nos sirven para determinar la convergencia de una integral (sin hacer el cálculo directo):

Integrales Impropias de tipo I:

Sean $f, g$ funciones continuas y $a \in \mathbb{R}$:

• Si $|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [a, \infty]$,
  
  $\displaystyle \int_a^{\infty} g(x) \;dx$ converge $\implies$ $\displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \;dx$ converge.
  
  $\displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \;dx$ diverge $\implies$ $\displaystyle \int_a^{\infty} g(x) \;dx$ diverge.

• Si $|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [-\infty, a]$,
  
  $\displaystyle \int_{-\infty}^a g(x) \;dx$ converge $\implies$ $\displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \;dx$ converge.
  
  $\displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \;dx$ diverge $\implies$ $\displaystyle \int_{-\infty}^a g(x) \;dx$ diverge.

Integrales Impropias de tipo II:

Sean $f, g$ funciones continuas en $[a, b)$ tal que $|f(x)| \leq g(x),\;\forall x \in [a, b)$ y $\displaystyle \lim_{x \to b^-} g(x) = \pm\infty$:

$\displaystyle \int_a^b g(x) \;dx$ converge $\implies$ $\displaystyle \int_a^b f(x) \;dx$ converge.

$\displaystyle \int_a^b f(x) \;dx$ diverge $\implies$ $\displaystyle \int_a^b g(x) \;dx$ diverge.

Observación: Si en todos los casos $f(x) \geq 0$ la hipótesis se reduce a $f(x) \leq g(x)$.

Ejemplo:

Determinar si la siguiente integral converge o diverge:

No podemos calcular la primitiva de $e^{-x^2}$ (no es una función elemental), por lo que usamos el teorema.

Notemos que:

La primera integral converge, ya que $f(x) = e^{-x^2}$ continua en $[0, 1]$.

Para ver la segunda integral, utilicemos el teorema:

En este caso estamos integrando para $1 \leq x$ por lo que podemos establecer que:

Independientemente del valor de $x$, si evaluamos $e^x \leq e^{x^2} \implies e^{-x} \geq e^{-x^2}$.

Si definimos $f(x) = e^{-x^2}$ y $g(x) = e^{-x}$, entonces $f(x) \leq g(x)$.

Ahora, nos interesa saber si $g(x)$ converge o diverge:

$-e^-\infty$ tiende a $0$, $e^{-1}$ es un número finito, por lo que la integral converge.