Probabilidad

Variable Aleatoria

Una variable aleatoria \((\mathbf{v.a.})\;X\) es una función \(X : \Omega \to R_x\)
donde \(\; \Omega\) es el universo de posibilidades y \(R_x\) (rango) es un conjunto de valores que toma la variable.

\(\Omega\) es un conjunto de estados posibles, podría pensarse como, por ejemplo, una población a estudiar:

\[\Omega = \{ \; \omega \mid \omega \; \textnormal{es una persona que vive en Argentina} \; \} \]

Puede tener más de una definición:

\[\Omega = \{ \; \omega \mid \omega \; \textnormal{es una persona que vive en Argentina y es mayor de edad} \; \} \]

El rango \(R_x\) puede ser igual a \(\NN\) o \(\RR\)

Ejemplo: \(X \; \mathbf{v.a.}\) edad

\(X : \Omega \to R_x\)

\(\omega\) = persona que vive en Argentina

\(X(\omega) = 40\)

Denominamos \(X(\omega)\) como realización de la \(\mathbf{v.a.} \; X\)

Tipos de variables aleatorias

Las \(\mathbf{v.a.}\) pueden ser de distinto tipo según los valores presentes en el Rango y su interpretación

Categóricas
Ordinales
Numéricas

Continuas
Discretas (conjunto finito o infinito numerable de valores posibles)

Interpretación Axiomática de Probabilidad

\(P\) es una medida de probabilidad en el espacio \(\; \Omega\) si para cada subconjunto \(A\) de \(\;\Omega, P(A)\) es un número tal que:

\(0 \leq P(A) \leq 1\)
\(P(\Omega) = 1\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) , para \(A, B\) disjuntos (o excluyente)
\(P(\cup_i A_i) = \sum_i \; P(A_i)\) para \(A_1, A_2, \ldots\) disjuntos

La forma de calcularla es la siguiente:

Si \(\Omega\) tiene \(k\) elementos equiprobables (es decir, si \(\omega_i\) es un elemento de \(\;\Omega, \; P(\{\omega_i\}) = 1/k\))
Si el conjunto \(A\) son los elementos en los que el fenómeno ocurre.
Entonces la probabilidad de un conjunto \(A \subset \Omega\) es la proporción \(A\) en \(\Omega\)

\[P(\{\omega_i \}) = 1/k \implies |A|/k \]

Probabilidad conjunta

La probabilidad conjunta de que ocurran eventos al mismo tiempo se modela con la intersección de los conjuntos:

\[P(A \cap B) \]

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de que ocurra un evento dado que ocurrió otro se denota \(P(A|B)\) y se calcula:

\[P(B) \neq 0 \implies P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Idependencia de conjuntos

\(A, B\) se dicen conjuntos independientes si:

\[\begin{align} &P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ &P(B) \neq 0 \implies P(A|B) = P(A) \end{align} \]

Teorema de Bayes

Dados los conjuntos \(A, B\) se cumple que:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]