Probabilidad

Variable Aleatoria

Una variable aleatoria $(\mathbf{v.a.})\;X$ es una función $X : \Omega \to R_x$
donde $\; \Omega$ es el universo de posibilidades y $R_x$ (rango) es un conjunto de valores que toma la variable.

$\Omega$ es un conjunto de estados posibles, podría pensarse como, por ejemplo, una población a estudiar:

\Omega = \{ \; \omega \mid \omega \; \textnormal{es una persona que vive en Argentina} \; \}

Puede tener más de una definición:

\Omega = \{ \; \omega \mid \omega \; \textnormal{es una persona que vive en Argentina y es mayor de edad} \; \}

El rango $R_x$ puede ser igual a $\NN$ o $\RR$

Ejemplo: $X \; \mathbf{v.a.}$ edad

$X : \Omega \to R_x$

$\omega$ = persona que vive en Argentina

$X(\omega) = 40$

Denominamos $X(\omega)$ como realización de la $\mathbf{v.a.} \; X$

Tipos de variables aleatorias

Las $\mathbf{v.a.}$ pueden ser de distinto tipo según los valores presentes en el Rango y su interpretación

Categóricas
Ordinales
Numéricas

Continuas
Discretas (conjunto finito o infinito numerable de valores posibles)

Interpretación Axiomática de Probabilidad

$P$ es una medida de probabilidad en el espacio $\; \Omega$ si para cada subconjunto $A$ de $\;\Omega, P(A)$ es un número tal que:

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(\Omega) = 1$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ , para $A, B$ disjuntos (o excluyente)
$P(\cup_i A_i) = \sum_i \; P(A_i)$ para $A_1, A_2, \ldots$ disjuntos

La forma de calcularla es la siguiente:

Si $\Omega$ tiene $k$ elementos equiprobables (es decir, si $\omega_i$ es un elemento de $\;\Omega, \; P(\{\omega_i\}) = 1/k$ )
Si el conjunto $A$ son los elementos en los que el fenómeno ocurre.
Entonces la probabilidad de un conjunto $A \subset \Omega$ es la proporción $A$ en $\Omega$

P(\{\omega_i \}) = 1/k \implies |A|/k

Probabilidad conjunta

La probabilidad conjunta de que ocurran eventos al mismo tiempo se modela con la intersección de los conjuntos:

P(A \cap B)

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de que ocurra un evento dado que ocurrió otro se denota $P(A|B)$ y se calcula:

P(B) \not=0 \implies P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Idependencia de conjuntos

$A, B$ se dicen conjuntos independientes si:

\begin{aligned} &P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ &P(B) \not=0 \implies P(A|B) = P(A) \end{aligned}

Teorema de Bayes

Dados los conjuntos $A, B$ se cumple que:

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}