Cálculo Vectorial

Vectores

Definimos la noción de vector en el plano (2D) y en el espacio (3D):
$\mathbb{R}^n = \{ \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), a_i \in \mathbb{R} \; \forall i \}$

En $\mathbb{R}^n$ se definen las operaciones:

Suma: $(a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)$
Multiplicación por un escalar: $r \in \mathbb{R}, r \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (r \cdot a_1, r \cdot a_2, \ldots, r \cdot a_n)$

Con estas operaciones, $\mathbb{R}^n$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ , y sus elementos son vectores (o puntos).

Observaciones:

Denotamos $- \mathbf{a} = (-1) \cdot \mathbf{a}$
Definimos la resta como $\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (- \mathbf{b})$
Definimos el vector nulo como $\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)$

Representaciones en el plano y en el espacio

Esta es una representación gráfica de dos puntos en $\mathbb{R}^2$ donde $\mathbf{A} = (2,3), \mathbf{-A} = (-2,-3)$

Y esta es una representación gráfica de los vectores $\mathbf{a} = (2,3), - \mathbf{a} = (-2,-3)$ en $\mathbb{R}^2$ , como puede observarse, los vectores parten desde el origen.

En este ejemplo comparten la misma dirección y longitud pero no el mismo sentido.

Esta es una representación de un punto en $\mathbb{R}^3$ donde $\mathbf{A} = (1,2,2)$

Esta es una representación gráfica del vector $\mathbf{a} = (2,3,3)$ en $\mathbb{R}^{3}$

Regla del paralelogramo

Dados dos vectores, al completarlos con un paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es igual a la suma de los vectores.

Producto escalar

Dados $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ con $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$ , se define el producto escalar como:

<\mathbf{a}, \mathbf{b}> = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n = \sum_{j=1}^{n} a_j \cdot b_j

Propiedades - Producto escalar

Dados $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ y $r \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1) $<\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <\mathbf{b}, \mathbf{a}>$

2) $<\mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{c}> \; = \; <\mathbf{a}, \mathbf{c}> + <\mathbf{b}, \mathbf{c}> \land <\mathbf{a}, \mathbf{b} + \mathbf{c}> \; = \; <\mathbf{a}, \mathbf{b}> + <\mathbf{a}, \mathbf{c}>$

3) $r <\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <r \; \mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <\mathbf{a}, r \; \mathbf{b}>$

4) $<\mathbf{a}, \mathbf{a}> \; \geq \; 0$

5) $<\mathbf{a}, \mathbf{a}> \; = \; 0 \; \iff \; \mathbf{a} = 0$

Norma de un vector

Geométricamente en $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$ el valor de $||\mathbf{a}||$ es la longitud del vector $\mathbf{a}$ .

En $\mathbb{R}^2$ $||\mathbf{a}|| = \sqrt{\mathbf{a}_1^2 + \mathbf{a}_2^2}$ (Teorema de Pitágoras)

En $\mathbb{R}^3$ $||\mathbf{a}|| = \sqrt{\mathbf{a}_1^2 + \mathbf{a}_2^2 + \mathbf{a}_3^2}$ (Teorema de Pitágoras 2 veces)

$||\mathbf{a}||$ es la distancia al origen, $d(\mathbf{a}, 0) = ||\mathbf{a}||$
$||\mathbf{a} - \mathbf{b}|| = d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ (distancia entre dos puntos)

Propiedades de la norma de un vector

Dado $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ y $r \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1) $||\mathbf{a}|| \geq 0 \land ||\mathbf{a}|| = 0 \iff \mathbf{a} = (0, 0, \ldots, 0)$

2) $||r \cdot \mathbf{a}|| = |r| \cdot ||\mathbf{a}||$

3) $||\mathbf{a} + \mathbf{b}|| \leq ||\mathbf{a}|| + ||\mathbf{b}||$ (Desigualdad triangular)

4) $<\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos(\theta), \; 0 \leq \theta \leq \pi$

5) $|<\mathbf{a}, \mathbf{b}>| \leq ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}||$ (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Ángulo entre dos vectores

Dados $\mathbf{a}, \mathbf{b} \neq 0, \in \mathbb{R}^n$ , decimos que:

Son ortogonales (o perpendiculares) si $<\mathbf{a}, \mathbf{b}> = 0$

Si esto es cierto, entonces $\cos(\theta) = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}$

Son paralelos si $\mathbf{a} = r \cdot \mathbf{b}$ para algún $r \in \mathbb{R}$

Si esto es cierto, están en una misma recta, uno es múltiplo del otro.

Rectas en el plano y en el espacio

Sean $P_0, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ con $\mathbf{v} \neq 0$ :

Los puntos $t\mathbf{v}$ con $t \in \mathbb{R}$ describen la recta $\ell_1$ que tiene dirección $\mathbf{v}$ y pasa por el origen.
Los puntos $P_0 + t\mathbf{v}$ con $t \in \mathbb{R}$ describen la recta $\ell_2$ que tiene dirección $\mathbf{v}$ y pasa por el punto $P_0$ .

Ecuación vectorial de una recta

La recta $\ell$ que pasa por el punto $P_0$ y tiene dirección $\mathbf{v}$ es el conjunto de todos los puntos tales que:

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = (x, y) \in \mathbb{R}^2 \lor (x, y, z) \in \mathbb{R}^3

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P_0 + t\mathbf{v} \;,\; t \in \mathbb{R}

Siendo la última ecuación la ecuación vectorial de la recta.

Tipos de rectas

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si sus vectores dirección son paralelos.

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores dirección son ortogonales.

Recta que pasa por dos puntos

La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos $P_0, P_1$ es:

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P_0 + t(P_1 - P_0) \;,\; t \in \mathbb{R}

Ecuación paramétrica de una recta en el plano

Sean $P_0 = (x_0, y_0), \; \mathbf{v} = (v_1, v_2) \neq 0, \; r \in \mathbb{R}$ y considerando la equivalencia entre:

\begin{align*} \underline{\overline{\mathbf{X}}} &= P_0 + t\mathbf{v}\\ (x, y) &= (x_0, y_0) + t(v_1, v_2) \end{align*}

Definimos la ecuación paramétrica como:

EP = \begin{cases} x = x_0 + tv_1 \\ y = y_0 + tv_2 \end{cases}

Suponiendo que $v_1 \neq 0$ , despejando $t$ de la primera ecuación obtenemos:

t = \frac{x - x_0}{v_1}

Sustituyendo $t$ en la segunda ecuación obtenemos:

y = y_0 + (\frac{x - x_0}{v_1})\;v_2

Con estos datos, podemos obtener el valor de la pendiente de la recta y la ordenada al origen.

\frac{v_2}{v_1}\;x + (y_0 - \frac{v_2}{v_1}\;x_0) = y

Forma explícita de la recta:

y = ax + b

Forma implícita de la recta:

ax - y + b = 0

Ecuación paramétrica de una recta en el espacio

Sean $P_0 = (x_0, y_0, z_0), \; \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \neq 0, \; r \in \mathbb{R}$ y considerando la equivalencia entre:

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P_0 + t\mathbf{v} \;,\; t \in \mathbb{R}

(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(v_1, v_2, v_3)

Definimos la ecuación paramétrica como:

EP = \begin{cases} x = x_0 + tv_1 \\ y = y_0 + tv_2 \\ z = z_0 + tv_3 \end{cases}

No posee forma explícita o implícita.

Planos en el espacio

Ecuación vectorial de un plano

Dados $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3$ con $\mathbf{v} \neq 0 \neq \mathbf{w} \land \mathbf{v} \neq s \mathbf{w}$ , y dado $P \in \mathbb{R}^3 \land r, s \in \mathbb{R}$ definimos la ecuación vectorial de un plano:

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P + s\mathbf{v} + t\mathbf{w}

Por geometría euclideana sabemos que un plano queda determinado por alguna de estas posibilidades:

1) Tres puntos no colineales

2) Una recta y un punto fuera de ella

3) Dos rectas paralelas (distintas)

Para el primer caso:

Sean los puntos $P, Q, R$ no colineales (no son paralelos), $P - Q$ y $R - Q$ dos vectores no nulos y no paralelos que generan el plano.

La ecuación vectorial del plano es:

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P + t(P - Q) + r(R - Q), \; t, r \in \mathbb{R}

Para el segundo caso:

Si tenemos una recta $\ell$ y un punto $P$ fuera de ella, entonces eligiendo dos puntos $Q$ y $R$ en la recta, tenemos tres puntos no colineales y aplicamos el caso anterior.

Para el tercer caso:

Si tenemos dos rectas paralelas, entonces eligiendo un punto $P$ y $Q$ en cada recta, y un punto $R$ sobre la otra recta, aplicamos el caso anterior.

Ecuación normal de un plano

Sea $\mathbf{n}$ un vector perpendicular a un plano $\overline{\underline{X}} = (x, y, z)$ y un punto $P_0$ por el que pasa, entonces la ecuación normal de un plano es:

< \overline{\underline{X}} - P_0, \mathbf{n} > \; = \; 0

Tal que $\overline{\underline{X}} - P_0$ es perpendicular a $\mathbf{n}$ .

Ecuación cartesiana del plano

Sean $\overline{\underline{X}} = (x, y, z), \; \mathbf{n} = (a, b, c)$ , entonces la ecuación cartesiana de un plano es:

ax + by + cz = d

Producto Vectorial

Dados dos vectores $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3), \; \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$ , se define el producto vectorial $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ como:

\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (v_2w_3 - w_2v_3, w_1v_3 - v_1w_3, w_2v_1 - v_2w_1)

Esto nos sirve para pasar la ecuación vectorial del plano a la ecuación normal del plano.

Sabiendo la ecuación vectorial del plano que pasa por $P$ y tiene dirección $\mathbf{v}, \mathbf{w}$ :

\underline{\overline{\mathbf{X}}} = P + s\mathbf{v} + t\mathbf{w}

Como el vector $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ es ortogonal a $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ , entonces podemos escribir la ecuación normal del plano como:

< \overline{\underline{X}} - P, \mathbf{v} \times \mathbf{w} > \; = \; 0

Calcular coseno del ángulo entre planos

Decimos que $\alpha$ es el ángulo entre dos planos si $\alpha$ es el ángulo entre sus vectores normales.

Ejemplo:

Obtener el coseno del ángulo entre los planos $x+y+z=0$ y $x+2zy+3z=1$ :

Tenemos que $\mathbf{n}_1 = (1, 1, 1), \; \mathbf{n}_2 = (1, 2, 3)$ , entonces:

< \mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2 > \; = \; 1 + 2 + 3 = 6 = ||\mathbf{n}_1|| \cdot ||\mathbf{n}_2|| \cdot \cos(\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2)

Como $||\mathbf{n}_1|| = \sqrt{3} \land ||\mathbf{n}_2|| = \sqrt{14}$ , entonces:

\cos(\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2) = \frac{< \mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2>}{||\mathbf{n}_1|| \cdot ||\mathbf{n}_2||}

\cos(\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2) = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{14}}

Funciones vectoriales

Dados $f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; i = 1, \ldots, n$ definimos función vectorial a la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ dada por $f(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t))$ . Donde los $f_i$ son las funciones coordenadas de $f$ .

Dominio de una función vectorial

El dominio de $f$ es $Dom(f) = \displaystyle{\cup_{i=1}^{n}} \; Dom(f_i)$

Ejemplo:

Dada la función $f(t) = (t+2, t^3)$ , entonces como $Dom(f_1) = \mathbb{R} \land Dom(f_2) = \mathbb{R}$ , entonces $Dom(f) = \mathbb{R}$

Imagen de una función vectorial

Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ es una función vectorial, su imagen es el conjunto definido por:

Im(f) = \{ (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n : \exists t \in Dom(f) \; | \; f(t) = (y_1, \ldots, y_n) \}

En el plano decimos que la imagen de $f$ es una curva en el plano
En el espacio decimos que la imagen de $f$ es una curva en el espacio

Ejemplo:

Dada la función $f(t) = (t, 2-t, 3+2t)$ dar su imagen en el espacio:

Sabemos que $Im(f)$ es una recta en el espacio paralela al vector $(1, -1, 2)$ ya que:

f(t) = (t, 2-t, 3+2t) = t \cdot (1, -1, 2) + (0, 2, 3)

Por lo tanto, la su imagen es:

Im(f) = \{ (y_1, y_2, y_3) \in \mathbb{R}^3 : (y_1, y_2, y_3) = t \cdot (1, -1, 2) + (0, 2, 3), t \in \mathbb{R} \}

Límites de funciones vectoriales

Dada $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ y $a \in Dom(f)$ , definimos la derivada de $f$ en $t=a$ como:

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

(Siempre que el límite exista)

Decimos que $f(a)$ es el vector posición y que $f'(a)$ es el vector tangente a la curva en $f(a)$

Ejemplo:

Sea $f(t) = (3, sen^2(t), 2t + 1)$ calcular $\displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; f(t)$

\displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; f(t) = (3, sen^2(t), 2 \cdot 0 + 1) = (\displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; 3, \displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; sen^2(t), \displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; 2t + 1) = (3, 0, 1)

Series y Polinomio de Taylor Funciones de Varias Variables