Cálculo Vectorial

Vectores

Definimos la noción de vector en el plano (2D) y en el espacio (3D):
\(\mathbb{R}^n = \{ \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \; a_i \in \mathbb{R}, \; 1 \leq i \leq n \}\)

En \(\mathbb{R}^n\) se definen las operaciones:

• Suma: \((a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)\)

• Multiplicación por un escalar: \(r \in \mathbb{R}, r \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (r \cdot a_1, r \cdot a_2, \ldots, r \cdot a_n)\)

Con estas operaciones, \(\mathbb{R}^n\) es un espacio vectorial sobre el cuerpo \(\mathbb{R}\), y sus elementos son vectores (o puntos).

Observaciones:

• Denotamos \(- \mathbf{a} = (-1) \cdot \mathbf{a}\)
• Definimos la resta como \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (- \mathbf{b})\)
• Definimos el vector nulo como \(\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)\)

Representaciones en el plano y en el espacio

Esta es una representación gráfica de dos puntos en \(\mathbb{R}^2\) donde \(\mathbf{A}(2,3), \mathbf{-A}(-2,-3)\)

Y esta es una representación gráfica de los vectores \(\mathbf{a} = (2,3), - \mathbf{a} = (-2,-3)\) en \(\mathbb{R}^2\), como puede observarse, los vectores parten desde el origen.

En este ejemplo comparten la misma dirección y longitud pero no el mismo sentido.

Esta es una representación de un punto en \(\mathbb{R}^3\) donde \(\mathbf{A} = (1,2,2)\)

Esta es una representación gráfica del vector \(\mathbf{a} = (2,3,3)\) en \(\mathbb{R}^{3}\)

Regla del paralelogramo

Dados dos vectores, al completarlos con un paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es igual a la suma de los vectores.

Producto escalar

Dados \(\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\), se define el producto escalar como:

Propiedades - Producto escalar

Dados \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n\) y \(r \in \mathbb{R}\), se cumplen las siguientes propiedades:

1) \(<\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <\mathbf{b}, \mathbf{a}>\)

2) \(<\mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{c}> \; = \; <\mathbf{a}, \mathbf{c}> + <\mathbf{b}, \mathbf{c}> \land <\mathbf{a}, \mathbf{b} + \mathbf{c}> \; = \; <\mathbf{a}, \mathbf{b}> + <\mathbf{a}, \mathbf{c}>\)

3) \(r <\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <r \; \mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; <\mathbf{a}, r \; \mathbf{b}>\)

4) \(<\mathbf{a}, \mathbf{a}> \; \geq \; 0\)

5) \(<\mathbf{a}, \mathbf{a}> \; = \; 0 \; \iff \; \mathbf{a} = 0\)

Norma de un vector

Geométricamente en \(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3\) el valor de \(||\mathbf{a}||\) es la longitud del vector \(\mathbf{a}\).

En \(\mathbb{R}^2\) \(||\mathbf{a}|| = \sqrt{\mathbf{a}_1^2 + \mathbf{a}_2^2}\) (Teorema de Pitágoras)

En \(\mathbb{R}^3\) \(||\mathbf{a}|| = \sqrt{\mathbf{a}_1^2 + \mathbf{a}_2^2 + \mathbf{a}_3^2}\) (Teorema de Pitágoras 2 veces)

• \(||\mathbf{a}||\) es la distancia al origen, \(d(\mathbf{a}, 0) = ||\mathbf{a}||\)

• \(||\mathbf{a} - \mathbf{b}|| = d(\mathbf{a}, \mathbf{b})\) (distancia entre dos puntos)

Propiedades de la norma de un vector

Dado \(\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\) y \(r \in \mathbb{R}\), se cumplen las siguientes propiedades:

1) \(||\mathbf{a}|| \geq 0 \land ||\mathbf{a}|| = 0 \iff \mathbf{a} = (0, 0, \ldots, 0)\)

2) \(||r \cdot \mathbf{a}|| = |r| \cdot ||\mathbf{a}||\)

3) \(||\mathbf{a} + \mathbf{b}|| \leq ||\mathbf{a}|| + ||\mathbf{b}||\) (Desigualdad triangular)

4) \(<\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = \; ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos(\theta), \; 0 \leq \theta \leq \pi\)

5) \(|<\mathbf{a}, \mathbf{b}>| \leq ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}||\) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Ángulo entre dos vectores

Dados \(\mathbf{a}, \mathbf{b} \neq 0, \in \mathbb{R}^n\), decimos que:

• Son ortogonales (o perpendiculares) si \(\; <\mathbf{a}, \mathbf{b}> \; = 0\)

Si esto es cierto, entonces \(\cos(\theta) = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}\)

Además pueden denotarse como: \(\; \mathbf{a} \; \bot \; \mathbf{b}\)

• Son paralelos si \(\mathbf{a} = r \cdot \mathbf{b}\) para algún \(r \in \mathbb{R}\)

Si esto es cierto, están en una misma recta, uno es múltiplo del otro.

Rectas en el plano y en el espacio

Sean \(P_0, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{v} \neq 0\):

• Los puntos \(t\mathbf{v}\) con \(t \in \mathbb{R}\) describen la recta \(\ell_1\) que tiene dirección \(\mathbf{v}\) y pasa por el origen.

• Los puntos \(P_0 + t\mathbf{v}\) con \(t \in \mathbb{R}\) describen la recta \(\ell_2\) que tiene dirección \(\mathbf{v}\) y pasa por el punto \(P_0\).

Ecuación implícita de una recta

Dados \(a, b, c \in \RR\) con \(a, b\) no simultáneamente nulos, la ecuación implícita de la recta es:

Ecuación vectorial de una recta

La recta \(\ell\) que pasa por el punto \(P_0\) y tiene dirección \(\mathbf{v}\) es el conjunto de todos los puntos tales que:

Siendo la última ecuación la ecuación vectorial de la recta.

Tipos de rectas

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si sus vectores dirección son paralelos.

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores dirección son ortogonales.

Recta que pasa por dos puntos

La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos \(P_0, P_1\) es:

Ecuación paramétrica de una recta en el plano

Sean \(P_0 = (x_0, y_0), \; \mathbf{v} = (\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}) \neq 0, \; r \in \mathbb{R}\) y considerando la equivalencia entre:

Definimos la ecuación paramétrica como:

Suponiendo que \(\mathbf{v_1} \neq 0\), despejando \(t\) de la primera ecuación obtenemos:

Sustituyendo \(t\) en la segunda ecuación obtenemos:

Con estos datos, podemos obtener el valor de la pendiente de la recta y la ordenada al origen.

Forma explícita de la recta:

Forma implícita de la recta:

Representando ecuaciones implícitas y paramétricas

Ejemplo 1:

Obtener la ecuación implícita de una representación paramétrica \(X\):

Podemos igualar cada coordenada como:

Sustituyendo valores despejando \(t\):

Por lo que su ecuación implícita es:

Ejemplo 2:

Obtener la representación paramétrica \(Y\) de la ecuación implícita:

Despejamos \(y\) en función de \(x\)

Solo por notación, reemplazamos \(x\) por \(t\) tal que:

Donde se parametrizan \(x, y\) como \(x = t, \; y = - \frac{5}{2}t + \frac{11}{2}\)

Ecuación paramétrica de una recta en el espacio

Sean \(P_0 = (x_0, y_0, z_0), \; \mathbf{v} = (\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{\mathbf{v_3}}) \neq 0, \; r \in \mathbb{R}\) y considerando la equivalencia entre:

Definimos la ecuación paramétrica como:

No posee forma explícita o implícita.

Planos en el espacio

Ecuación vectorial de un plano

Dados \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3\) con \(\mathbf{v} \neq 0 \neq \mathbf{w} \land \mathbf{v} \neq s \mathbf{w}\), y dado \(P \in \mathbb{R}^3 \land r, s \in \mathbb{R}\) definimos la ecuación vectorial de un plano:

Por geometría euclideana sabemos que un plano queda determinado por alguna de estas posibilidades:

1) Tres puntos no colineales

2) Una recta y un punto fuera de ella

3) Dos rectas paralelas (distintas)

Para el primer caso:

Sean los puntos \(P, Q, R\) no colineales (no son paralelos), \(P - Q\) y \(R - Q\) dos vectores no nulos y no paralelos que generan el plano.

La ecuación vectorial del plano es:

Para el segundo caso:

Si tenemos una recta \(\ell\) y un punto \(P\) fuera de ella, entonces eligiendo dos puntos \(Q\) y \(R\) en la recta, tenemos tres puntos no colineales y aplicamos el caso anterior.

Para el tercer caso:

Si tenemos dos rectas paralelas, entonces eligiendo un punto \(P\) y \(Q\) en cada recta, y un punto \(R\) sobre la otra recta, aplicamos el caso anterior.

Ecuación normal de un plano

Sea \(\mathbf{n}\) un vector perpendicular a un plano \(\underline{\overline{\mathbf{X}}} = (x, y, z)\) y un punto \(P_0\) por el que pasa, entonces la ecuación normal de un plano es:

Tal que \(\underline{\overline{\mathbf{X}}} - P_0\) es perpendicular a \(\mathbf{n}\).

Ecuación cartesiana/implícita del plano

Sean \(\underline{\overline{\mathbf{X}}} = (x, y, z), \; \mathbf{n} = (a, b, c)\), entonces la ecuación cartesiana de un plano es:

Producto Vectorial

Dados dos vectores \(\mathbf{v} = (\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{\mathbf{v_3}}), \; \mathbf{w} = (\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}, \mathbf{w_3})\), se define el producto vectorial \(\mathbf{v} \times \mathbf{w}\) como:

Esto nos sirve para pasar la ecuación vectorial del plano a la ecuación normal del plano.

Sabiendo la ecuación vectorial del plano que pasa por \(P\) y tiene dirección \(\mathbf{v}, \mathbf{w}\):

Como el vector \(\mathbf{v} \times \mathbf{w}\) es ortogonal a \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\), entonces podemos escribir la ecuación normal del plano como:

Calcular coseno del ángulo entre planos

Decimos que \(\alpha\) es el ángulo entre dos planos si \(\alpha\) es el ángulo entre sus vectores normales.

Ejemplo:

Obtener el coseno del ángulo entre los planos \(x+y+z=0\) y \(x+2zy+3z=1\):

Tenemos que \(\mathbf{n}_1 = (1, 1, 1), \; \mathbf{n}_2 = (1, 2, 3)\), entonces:

Como \(||\mathbf{n}_1|| = \sqrt{3} \land ||\mathbf{n}_2|| = \sqrt{14}\), entonces:

Funciones vectoriales

Dados \(f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; i = 1, \ldots, n\) definimos función vectorial a la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) dada por \(f(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t))\). Donde los \(f_i\) son las funciones coordenadas de \(f\).

Dominio de una función vectorial

El dominio de \(f\) es \(Dom(f) = \displaystyle{\cup_{i=1}^{n}} \; Dom(f_i)\)

Ejemplo:

Dada la función \(f(t) = (t+2, t^3)\), entonces como \(Dom(f_1) = \mathbb{R} \land Dom(f_2) = \mathbb{R}\), entonces \(Dom(f) = \mathbb{R}\)

Imagen de una función vectorial

Si \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) es una función vectorial, su imagen es el conjunto definido por:

• En el plano decimos que la imagen de \(f\) es una curva en el plano
• En el espacio decimos que la imagen de \(f\) es una curva en el espacio

Ejemplo:

Dada la función \(f(t) = (t, 2-t, 3+2t)\) dar su imagen en el espacio:

Sabemos que \(Im(f)\) es una recta en el espacio paralela al vector \((1, -1, 2)\) ya que:

Por lo tanto, la su imagen es:

Límites de funciones vectoriales

Dada \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n \; \land \; a \in Dom(f)\), definimos la derivada de \(f\) en \(t=a\) como:

(Siempre que el límite exista)

Decimos que \(f(a)\) es el vector posición y que \(f'(a)\) es el vector tangente a la curva en \(f(a)\)

Ejemplo:

Sea \(f(t) = (3, \; sen^2(t), \; 2t + 1)\) calcular \(\displaystyle{\lim_{t \to 0}} \; f(t)\)