Continuidad

La continuidad de una función en un punto $a$ se define como la existencia de límite en $a$ y que dicho límite sea igual al valor de la función en $a$.

En otras palabras, necesitamos tres condiciones para que una función sea continua en un punto $a$:

1. $a \in Dom\;f(x)$
2. $\exists\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x)$
3. $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = f(a)$

Cuando una de estas condiciones no se cumple, decimos que la función es discontinua en $a$.

Discontinuidades

En base a los criterios anteriores, se establecen tres tipos de discontinuidades:

1. Discontinuidad evitable: $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) \neq f(a)$
2. Discontinuidad de salto: $\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) \neq \displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) \;\; (\cancel{\exists}\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x))$
3. Discontinuidad esencial: $\displaystyle{\lim_{x \to a^\pm}} \; f(x) = \pm\infty \;\; (\cancel{\exists}\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x))$

Si $a\;\cancel{\in}\;Dom\;f(x)$, entonces $a$ puede ser un punto de discontinuidad de salto o esencial.

Ejercicios resueltos - Continuidad y descontinuidad

1.

Dada la siguiente función por partes:

a) ¿Es continua en $x = 1$?

b) ¿Es continua en $x = 2$?

a]

$f$ es discontinua si $x = 1$ (discontinuidad de salto).

b]

$f$ es continua si $x = 2$.

2.

Dada la siguiente función por partes:

a) ¿Es continua en $x = 1$?

b) ¿Es continua en $x = 3$?

c) ¿Es continua en $x = 0$?

a]

$f$ es continua si $x = 1$.

b]

$f$ es discontinua si $x = 3$ (discontinuidad evitable).

c]

$f$ es discontinua si $x = 0$ (discontinuidad esencial).

3.

Dada la siguiente función por partes:

En este caso, no podemos reemplazar $x$ por $0$ en la función, ya que no está definida.

Por lo tanto, podemos razonar para aplicar el Teorema del Sandwich:

La función $\sin(x)$ estará siempre acotada en $[-1, 1]$. Por lo tanto, podemos multiplicar por $x^2$ a ambos lados:

En lugar de reemplazar $x$ por $0$, evaluamos el límite cuando $x$ tiende a $0$ en $-x^2$ y $x^2$:

Ambos valores son iguales, por lo tanto la función que está acotada entre ambas también lo es (Teorema del Sandwich).

Continuidad lateral

Definimos continuidad por izquierda si $\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = f(a)$ y por derecha si $\displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = f(a)$

Continuidad en un Intervalo

$f$ es continua en $(a, b)$ si es continua en todo número del intervalo.

$f$ es continua en $[a, b]$ si es continua en todo número del intervalo, por derecha en $a$ e izquierda en $b$.

Propiedades - Funciones continuas

Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces lo serán:

• $(f + g)(x)$
• $(f - g)(x)$
• $(f \cdot g)(x)$
• $(\frac{f}{g})(x)$, si $g(a) \neq 0$
• $(f \circ g)(x)$, si $f$ continua en $g(a)$

Si $a$ es un punto del dominio (no extremos):

• Los polinomios son continuos en $\mathbb{R}$.
• Las funciones racionales son continuas en su dominio.
• Las radicación es continua en su dominio (sin extremos)
• $sen(x)$ y $cos(x)$ son continuas en $\mathbb{R}$.

Ejercicios resueltos - Continuidad en un intervalo

1.

Dada la siguiente función, demostrar que es continua en $[-2, 2]$:

La función $f$ es una suma de 2 funciones:

Sabemos que $g(x)$ es continua en $\mathbb{R}$ y por ende continua en $[-2, 2]$.

También podríamos expresar $h(x)$ como una función compuesta:

Sabiendo que la función es compuesta, queda saber su dominio:

Sumamos $x^2$ a ambos lados:

Invertimos el orden de los términos:

Sacamos raíz cuadrada a ambos lados:

Aplicamos propiedad de Valor Absoluto:

Su dominio es $[-2, 2]$. Sin embargo, al ser una función compuesta, es $(-2, 2)$ (si es una función compuesta no incluimos extremos!). Debemos verificar sus extremos/laterales. Para ello, necesitamos saber el valor de $f(-2)$ y $f(2)$:

Ahora, comparamos los valores de $f(-2)$ y $f(2)$ con los límites laterales y verificamos su continuidad:

La continuidad lateral se cumple, por lo que la $f$ es continua en $[-2, 2]$.

Teorema del Valor Intermedio

Si $f$ es continua en $[a, b]$, y $N$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$, hay un número $c$ en $[a, b]$ tal que $f(c) = N$.
(Puede ser: $f(a) < N < f(b) \; \lor \: f(b) < N < f(a)$)

Ejercicios resueltos - Teorema del Valor Intermedio

1.

Dada la ecuación: $cos(x) = 2x$, demostrar que tiene al menos una solución en $(0, \pi)$.

Para poder resolver este problema, podemos igualar toda la ecuación a $0$:

$N = 0$ puede funcionar como solución. Para buscarla, definimos una función $f(x) = cos(x) - 2x$.
(Sabemos que $cos(x)$ es continua en $\mathbb{R}$, por lo que también lo es en $[0, \pi]$):

Si $N = 0$, entonces $f(0) > 0 > f(\pi)$.
Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $c$ en $(0, \pi)$ tal que $f(c) = 0$.

2.

Dada la ecuación: $x^3 - 2x^2 = -3x + 1$, demostrar que tiene al menos una solución en $(0, 1)$.

Primero, igualamos la ecuación a $0$:

Luego, definimos una función: $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$.
(Sabemos que $x^3$ es continua en $\mathbb{R}$, por lo que también lo es en $[0, 1]$):

Si $N = 0$, entonces $f(0) < 0 < f(1)$.
Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $c$ en $(0, 1)$ tal que $f(c) = 0$.

Teorema de Weierstrass

Si $f$ es continua en $[a, b]$, hay dos puntos $x_1$ y $x_2$ en $[a, b]$ tales que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2), \forall x \in [a, b]$.
Es decir, $f$ alcanza su máximo y mínimo en $[a, b]$.