Continuidad
La continuidad de una función en un punto \(a\) se define como la existencia de límite en \(a\) y que dicho límite sea igual al valor de la función en \(a\).
En otras palabras, necesitamos tres condiciones para que una función sea continua en un punto \(a\):
- \(a \in Dom\;f(x)\)
- \(\exists\; \displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x)\)
- \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) = f(a)\)
Cuando una de estas condiciones no se cumple, decimos que la función es discontinua en \(a\).
Discontinuidades
En base a los criterios anteriores, se establecen tres tipos de discontinuidades:
- Discontinuidad evitable: \(\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x) \neq f(a)\)
- Discontinuidad de salto: \(\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) \neq \displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) \;\; (\not\exists\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x))\)
- Discontinuidad esencial: \(\displaystyle{\lim_{x \to a^\pm}} \; f(x) = \pm\infty \;\; (\not\exists\;\displaystyle{\lim_{x \to a}} \; f(x))\)
Si \(a \not\in Dom\;f(x)\), entonces \(a\) puede ser un punto de discontinuidad de salto o esencial.
Ejercicios resueltos - Continuidad y descontinuidad
1.
Dada la siguiente función por partes:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 + 1, & x < 1 \\ 3x, & x \geq 1 \end{array} \right. \]a) ¿Es continua en \(x = 1\)?
b) ¿Es continua en \(x = 2\)?
a]
\[\begin{array}{ll} f(1) = 3 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 1^-}} \; f(x) = 2 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \; f(x) = 3 \end{array} \] \[\nexists\;\displaystyle{\lim_{x \to 1}} \; f(x) \]\(f\) es discontinua si \(x = 1\) (discontinuidad de salto).
b]
\[\begin{array}{ll} f(2) = 6 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} \; f(x) = 6 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 2^+}} \; f(x) = 6 \end{array} \] \[\displaystyle{\lim_{x \to 2}} \; f(x) = f(2) \]\(f\) es continua si \(x = 2\).
2.
Dada la siguiente función por partes:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x}, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x, & x > 0 \\ 2, & x = 3 \end{array} \right. \]a) ¿Es continua en \(x = 1\)?
b) ¿Es continua en \(x = 3\)?
c) ¿Es continua en \(x = 0\)?
a]
\[\begin{array}{ll} f(1) = 1 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 1^-}} \; f(x) = 1 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \; f(x) = 1 \end{array} \] \[\displaystyle{\lim_{x \to 1}} \; f(x) = f(1) \]\(f\) es continua si \(x = 1\).
b]
\[\begin{array}{ll} f(3) = 2 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 3^-}} \; f(x) = 3 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 3^+}} \; f(x) = 3 \end{array} \] \[\displaystyle{\lim_{x \to 3}} \; f(x) \neq f(3) \]\(f\) es discontinua si \(x = 3\) (discontinuidad evitable).
c]
\[\begin{array}{ll} f(0) = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; f(x) = -\infty \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; f(x) = 0 \end{array} \] \[\nexists\;\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; f(x) \]\(f\) es discontinua si \(x = 0\) (discontinuidad esencial).
3.
Dada la siguiente función por partes:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \\ \end{array} \right. \]En este caso, no podemos reemplazar \(x\) por \(0\) en la función, ya que no está definida.
Por lo tanto, podemos razonar para aplicar el Teorema del Sandwich:
\[-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1 \]La función \(\sin(x)\) estará siempre acotada en \([-1, 1]\). Por lo tanto, podemos multiplicar por \(x^2\) a ambos lados:
\[-x^2 \leq x^2\sin(\frac{1}{x}) \leq x^2 \]En lugar de reemplazar \(x\) por \(0\), evaluamos el límite cuando \(x\) tiende a \(0\) en \(-x^2\) y \(x^2\):
\[\begin{array}{ll} \displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} \; -x^2 = 0 \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \; x^2 = 0 \end{array} \]Ambos valores son iguales, por lo tanto la función que está acotada entre ambas también lo es (Teorema del Sandwich).
\[\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \; f(x) = 0 \]Continuidad lateral
Definimos continuidad por izquierda si \(\displaystyle{\lim_{x \to a^-}} \; f(x) = f(a)\) y por derecha si \(\displaystyle{\lim_{x \to a^+}} \; f(x) = f(a)\)
Continuidad en un Intervalo
\(f\) es continua en \((a, b)\) si es continua en todo número del intervalo.
\(f\) es continua en \([a, b]\) si es continua en todo número del intervalo, por derecha en \(a\) e izquierda en \(b\).
Propiedades - Funciones continuas
Si \(f\) y \(g\) son continuas en \(a\), entonces lo serán:
- \((f + g)(x)\)
- \((f - g)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- \((\frac{f}{g})(x)\), si \(g(a) \neq 0\)
- \((f \circ g)(x)\), si \(f\) continua en \(g(a)\)
Si \(a\) es un punto del dominio (no extremos):
- Los polinomios son continuos en \(\mathbb{R}\).
- Las funciones racionales son continuas en su dominio.
- Las radicación es continua en su dominio (sin extremos)
- \(sen(x)\) y \(cos(x)\) son continuas en \(\mathbb{R}\).
Ejercicios resueltos - Continuidad en un intervalo
1.
Dada la siguiente función, demostrar que es continua en \([-2, 2]\):
\[f(x) = x + \sqrt{4 - x^2} \]La función \(f\) es una suma de 2 funciones:
\[\begin{array}{ll} g(x) = x \; \\ h(x) = \sqrt{4 - x^2} \end{array} \]Sabemos que \(g(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\) y por ende continua en \([-2, 2]\).
También podríamos expresar \(h(x)\) como una función compuesta:
\[\begin{array}{ll} p(x) = \sqrt{x} \; \\ q(x) = 4 - x^2 \end{array} \]Sabiendo que la función es compuesta, queda saber su dominio:
\[ 4 - x^2 \geq 0 \]Sumamos \(x^2\) a ambos lados:
\[ 4 \geq x^2 \]Invertimos el orden de los términos:
\[ x^2 \leq 4 \]Sacamos raíz cuadrada a ambos lados:
\[ \sqrt{x^2} \leq \sqrt{4} \]Aplicamos propiedad de Valor Absoluto:
\[ |x| \leq 2 \] \[ -2 \leq x \leq 2 \]Su dominio es \([-2, 2]\). Sin embargo, al ser una función compuesta, es \((-2, 2)\) (si es una función compuesta no incluimos extremos!). Debemos verificar sus extremos/laterales. Necesitamos saber el valor de \(f(-2)\) y \(f(2)\):
\[\begin{array}{ll} f(-2) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + \sqrt{4 - 4} = -2 + \sqrt{0} = -2 + 0 = -2 \; \\ f(2) = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 + \sqrt{4 - 4} = 2 + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2 \end{array} \]Ahora, comparamos los valores de \(f(-2)\) y \(f(2)\) con los límites laterales y verificamos su continuidad:
\[\begin{array}{ll} \displaystyle{\lim_{x \to -2^+}} \; f(x) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + \sqrt{4 - 4} = -2 + \sqrt{0} = -2 + 0 = -2 \; \\ \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} \; f(x) = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 + \sqrt{4 - 4} = 2 + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2 \; \\ \end{array} \]La continuidad lateral se cumple, por lo que la \(f\) es continua en \([-2, 2]\).
Teorema del Valor Intermedio
Si \(f\) es continua en \([a, b]\), y \(N\) es un número entre \(f(a)\) y \(f(b)\), hay un número \(c\) en \([a, b]\) tal que \(f(c) = N\).
(Puede ser: \(f(a) < N < f(b) \; \lor \: f(b) < N < f(a)\))
Ejercicios resueltos - Teorema del Valor Intermedio
1.
Dada la ecuación: \(cos(x) = 2x\), demostrar que tiene al menos una solución en \((0, \pi)\).
Para poder resolver este problema, podemos igualar toda la ecuación a \(0\):
\[cos(x) - 2x = 0 \]\(N = 0\) puede funcionar como solución. Para buscarla, definimos una función \(f(x) = cos(x) - 2x\).
(Sabemos que \(cos(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo que también lo es en \([0, \pi]\)):
Si \(N = 0\), entonces \(f(0) > 0 > f(\pi)\).
Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un \(c\) en \((0, \pi)\) tal que \(f(c) = 0\).
2.
Dada la ecuación: \(x^3 - 2x^2 = -3x + 1 \), demostrar que tiene al menos una solución en \((0, 1)\).
Primero, igualamos la ecuación a \(0\):
\[x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0 \]Luego, definimos una función: \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1\).
(Sabemos que \(x^3\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo que también lo es en \([0, 1]\)):
Si \(N = 0\), entonces \(f(0) < 0 < f(1)\).
Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un \(c\) en \((0, 1)\) tal que \(f(c) = 0\).
Teorema de Weierstrass
Si \(f\) es continua en \([a, b]\), hay dos puntos \(x_1\) y \(x_2\) en \([a, b]\) tales que \(f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2), \forall x \in [a, b]\).
Es decir, \(f\) alcanza su máximo y mínimo en \([a, b]\).