Funciones (AM1)

Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x \in A$ un unico elemento $y \in B$ .

Dominio, Codominio e Imagen

f: A \rightarrow B

$A$ es el dominio de $f$ (Conjunto de salida).
$B$ es el codominio de $f$ (Conjunto de llegada).
Aplicamos la función en los elementos del dominio para encontrar los elementos del codominio, $f(x)=y$ .

El Dominio incluye los valores de $x$ en los que $f$ está definida y PUEDE usar.
El Codominio incluye valores de $y$ que $f$ PODRÍA tomar.
La Imagen es el conjunto de valores de $y$ que $f$ REALMENTE toma.

Encontrar el Dominio

Para encontrar el dominio de una función, debemos pensar en los valores que la misma está definida.

Ejemplo 1: $f(x) = \frac{1}{3 - x}$

La función está definida para todos los valores de $x$ excepto para aquellos que hacen que el denominador sea cero.

Podemos igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación: $3 - x = 0 \Rightarrow x \neq 3$ .

Por lo que el $Dom\;f(x) = \mathbb{R} - \{3\}$ .

Ejemplo 2: $f(x) = \sqrt{x-1}$

La raiz cuadrada está definida para valores mayores o iguales a cero.

En este caso podemos usar la siguiente desigualdad y resolverla: $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Por lo que el $Dom\;f(x) = [1, \infty)$ .

Encontrar la Imagen

Para encontrar la imagen de una función, debemos pensar en los valores que la misma toma.

Ejemplo 1: $f(x) = x^2$

La función toma todos los valores de $y$ mayores o iguales a cero.

Por lo que la $Im\;f(x) = [0, \infty)$ .

Ejemplo 2: $f(x) = \frac{1}{x}$

La función toma todos los valores de $y$ excepto el cero.

Por lo que la $Im\;f(x) = \mathbb{R} - \{0\}$ .

Funciones Elementales

Esta calculadora de geogebra muestra las funciones elementales y más usadas en la materia (puede resultar útil para experimentar y modificar las funciones):

Funciones Pares e Impares

$f$ es par si $f(-x) = f(x)$ , impar si $f(-x) = -f(x)$ .
Simétrica o asimétrica en el eje $y$ , respectivamente. Puede no ser par/impar.

Por la anterior definición, debemos evaluar la función en $-x$ y comparar.

Ejercicios resueltos - Funciones pares e impares

Determinar si $f(x) = x^2$ es par, impar o ninguna de las dos.

f(-x) = (-x)^2

El cuadrado de un número es positivo:

f(-x) = x^2 = f(x)

Por lo que $f$ es par.

Determinar si $f(x) = x^3$ es par, impar o ninguna de las dos.

f(-x) = (-x)^3

Si el exponente es impar, el resultado es negativo:

f(-x) = -x^3 = -f(x)

Por lo que $f$ es impar.

Determinar si $f(x) = x + 1$ es par, impar o ninguna de las dos.

\begin{array}{ll} f(-x) = -x + 1, \\ f(-x) \neq f(x) \end{array}

$f$ no es par,

\begin{array}{ll} -f(x) = -(x + 1) = -x - 1, \\ -f(x) \neq f(-x) \end{array}

$f$ tampoco es impar. Por lo tanto, ninguna de las dos.

Composición de funciones

Dadas dos funciones $f$ y $g$ , la composición de $f$ con $g$ es la función $f \circ g$ definida por $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Dadas las siguientes funciones:

f(x) = \frac{1}{x},\;\;g(x) = \sqrt{x}

Evaluamos $g(x)$ en $f(x)$ :

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\sqrt{x}}

Damos con el dominio de $f$ y $g$ :

\begin{array}{ll} Dom\;f(x) & = \mathbb{R} - \{0\}, \\ Dom\;g(x) & = [0, \infty) \end{array}

Por lo tanto, $Dom\;(f \circ g)(x) = \mathbb{R} - \{0\} \cap [0, \infty) = (0, \infty)$

Ejercicios resueltos - Composición de funciones

Dadas las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$ , calcular $(f \circ g)(x)$ y dar su dominio.

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Reemplazamos $x$ por $g(x)$ :

(f \circ g)(x) = (g(x))^2

Reemplazamos $g(x)$ por $\sqrt{x}$ y resolvemos:

(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x

El $Dom\;f(x) = \mathbb{R}$ y el $Dom\;g(x) = [0, \infty)$

Por lo tanto, $Dom\;(f \circ g)(x) = \mathbb{R} \cap [0, \infty) = [0, \infty)$

Dadas las funciones $f(x) = \frac{1}{5x-2}$ y $g(x) = \sqrt{x}$ , calcular $(g \circ f)(x)$ y dar su dominio.

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Reemplazamos $x$ por $f(x)$ :

(g \circ f)(x) = \sqrt{f(x)}

Reemplazamos $f(x)$ por $\frac{1}{5x-2}$ y resolvemos:

(g \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1}{5x-2}}

Igualamos el denominador por 0 y resolvemos:

5x-2 = 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}

El $Dom\;f(x) = \mathbb{R} - \{\frac{2}{5}\}$ y el $Dom\;g(x) = [0, \infty)$

Por lo tanto, $Dom\;(g \circ f)(x) = \mathbb{R} - \{\frac{2}{5}\} \cap [0, \infty) = [0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x}$ , calcular $(f \circ f)(x)$ y dar su dominio.

(f \circ f)(x) = f(f(x))

Reemplazamos $x$ por $f(x)$ :

(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x

El $Dom\;f(x) = \mathbb{R} - \{0\}$

Por lo tanto, $Dom\;(f \circ f)(x) = \mathbb{R} - \{0\}$

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Una función $f$ es inyectiva si $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ (si 2 elementos del dominio no tienen igual imagen).
Una función $f$ es sobreyectiva si $Im\;f(x) = Codom\;f(x)$ .
Una función $f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Tomemos la siguiente función: $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$ .

$f$ es inyectiva?

Evaluamos en $x_1$ y $x_2$ , los igualamos:

f(x_1) = f(x_2)

Luego, reemplazamos $x$ por $x^2$ (el subíndice permanece):

x_1^2 = x_2^2

Igualamos a 0 y resolvemos:

x_1^2 - x_2^2 = 0

Aplicamos diferencia de cuadrados:

(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0

Si $ab = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$ :

(x_1 - x_2 = 0)\;\lor\;(x_1 + x_2 = 0)

Resolvemos ambos casos:

x_1 = x_2\;\lor\;x_1 = -x_2

Por lo tanto, $f$ no es inyectiva. No se cumple que $x_1 = x_2$ en todos los casos.

Si trazamos una recta horizontal en el gráfico de una función inyectiva, esta solo cortará a la función en un punto. Lo cual no sucede en el ejemplo anterior.

$f$ es sobreyectiva?

$x^2$ solo toma valores positivos o cero. Por lo tanto, $Im\;f(x) = [0, \infty)$ .

Pero el $Codom\;f(x) = \mathbb{R}$ . Por lo tanto, $Im\;f(x) \neq Codom\;f(x)$ , $f$ no es sobreyectiva.

Función Inversa

Dada una función $f$ , la función inversa $f^{-1}$ es la función que cumple $f^{-1}(f(x)) = x$ .
Una función $f$ tiene inversa $\iff$ es biyectiva.

Dada la función $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = 3x$ .

Esta función es biyectiva, cumple con las propiedades anteriores. Por lo tanto, tiene inversa.

Para encontrar la función inversa, despejamos $x$ :

\begin{array}{ll} y & = 3x \\ \frac{y}{3} & = x \end{array}

Luego, intercambiamos el lugar de las variables:

\frac{x}{3} = y

Por lo tanto, $g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$ .

Ejercicios resueltos - Funciones inversas

Dada la función $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = x + 3$ , encontrar (si es posible) $g^{-1}$ .

$g$ es biyectiva?

$g$ es inyectiva, ya que $x_1 + 3 = x_2 + 3 \Rightarrow x_1 = x_2$ .

$g$ es sobreyectiva, ya que $Im\;g(x) = \mathbb{R}$ .

Por lo tanto, $g$ es biyectiva.

Ahora podemos encontrar la función inversa con la fórmula anterior:

y = x + 3

Despejamos $x$ (restar 3 en ambos lados):

x = y - 3

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = x - 3

La función inversa es $g^{-1}(x) = x - 3$ .

Determinar solo si $h(x) = \frac{3x - 4}{x + 1}$ es inyectiva y encontrar su inversa.

Para saber si $h$ es inyectiva, evaluamos en $x_1$ y $x_2$ , los igualamos:

h(x_1) = h(x_2)

Luego, reemplazamos $x$ por $x_1$ y $x_2$ :

\frac{3x_1 - 4}{x_1 + 1} = \frac{3x_2 - 4}{x_2 + 1}

Multiplicamos ambos miembros por $(x_1 + 1)(x_2 + 1)$ :

(3x_1 - 4)(x_2 + 1) = (3x_2 - 4)(x_1 + 1)

Resolvemos la ecuación:

3x_1x_2 + 3x_1 - 4x_2 - 4 = 3x_2x_1 + 3x_2 - 4x_1 - 4

Simplificamos:

3x_1 - 4x_2 = 3x_2 - 4x_1

Sumamos $4x_2$ y $4x_1$ en ambos miembros:

7x_1 = 7x_2

Dividimos por $7$ en ambos miembros:

x_1 = x_2

Por lo tanto, $h$ es inyectiva.

Ahora podemos buscar la inversa de $h$ :

y = \frac{3x - 4}{x + 1}

Multiplicamos por $(x + 1)$ en ambos miembros:

y(x + 1) = 3x - 4

Distribuimos:

yx + y = 3x - 4

Restamos $3x$ en ambos miembros:

yx - 3x + y = -4

Restamos $y$ en ambos miembros:

yx - 3x = -y - 4

Aplicamos factor común de $x$ en el primer miembro:

x(y - 3) = -y - 4

Dividimos por $(y - 3)$ en ambos miembros:

x = \frac{-y - 4}{y - 3}

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = \frac{-x - 4}{x - 3}

La función inversa es $h^{-1}(x) = \frac{-x - 4}{x - 3}$ .

Determinar si $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x) = x^3 + 2$ tiene inversa y encontrarla.

Para saber si $f$ tiene inversa, debemos saber si es biyectiva.

$f$ es inyectiva?

Evaluamos en $x_1$ y $x_2$ , los igualamos:

f(x_1) = f(x_2)

Luego, reemplazamos $x$ por $x_1$ y $x_2$ :

x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2

Restamos 2 en ambos miembros:

x_1^3 = x_2^3

Tomamos la raíz cúbica de ambos miembros:

\sqrt[3]{x_1^3} = \sqrt[3]{x_2^3}

Cancelamos las potencias:

x_1 = x_2

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$f$ es sobreyectiva?

$f(x)$ puede ser cualquier número real. Por lo tanto, $Im\;f(x) = \mathbb{R}$ .

Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva y biyectiva.

Ahora podemos buscar la inversa de $f$ :

y = x^3 + 2

Restamos 2 en ambos miembros:

y - 2 = x^3

Tomamos la raíz cúbica de ambos miembros:

\sqrt[3]{y - 2} = \sqrt[3]{x^3}

Cancelamos la potencia:

\sqrt[3]{y - 2} = x

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = \sqrt[3]{x - 2}

La función inversa es $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 2}$ .

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones trigonométricas tienen inversa acorde al dominio y conjunto de salida.

Ejemplo: $f : [0, \pi] \rightarrow [-1, 1]$ , $f(x) = \cos(x)$ .

Los nombres de las funciones inversas son arc[nombre], como: $\arccos(x)$ (arcocoseno)

Parábola

Las parábolas tienen tres formas distintas de escribirse:

Polinómica: $\;\;y = ax^2 + bx + c$
Factorizada: $\;\;y = a(x - x_1)(x - x_2)$
Canónica: $\;\;y = a(x - x_v)^2 + y_v$

Circunferencia

Fórmula de la Circunferencia

La fórmula de la circunferencia es: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Donde $(x_0, y_0)$ es el centro de la circunferencia y $r$ es el radio.

Ejercicios resueltos - Circunferencia

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en $(2, -1)$ y radio $r = 3$ .

Sabiendo la anterior fórmula, reemplazamos los valores:

(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2

Resolvemos las partes necesarias:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9

Encontrar el centro y radio de la siguiente circunferencia: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ .

El primer paso es agrupar los términos:

(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 4 = 0

Luego, completamos cuadrados (aplicando también la propiedad uniforme):

(x^2 - 4x + 2^2) + (y^2 + 6y + 3^2) + 4 = 0 + 2^2 + 3^2

Aplicamos cuadrado de un binomio (seguimos la fórmula original):

(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 + 4 = 13

Restamos 4 en ambos miembros:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9

Por lo tanto, el centro es $(2, -3)$ , para calcular el radio sería: $\sqrt{r^2} = \sqrt{9} \Rightarrow r = 3$

Graficar la circunferencia con centro en $(1, 2)$ y radio $r = 2$ .

El gráfico se vería de la siguiente manera:

Elipse

Fórmula de la Elipse

La fórmula de la elipse es: $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Donde $(x_0, y_0)$ es el centro de la elipse, $a$ y $b$ son los semiejes.

Ejercicios resueltos - Elipse

Hallar la ecuación de la elipse con centro en $(2, -1)$ , semieje horizontal $a = 3$ y semieje vertical $b = 2$ .

Sabiendo la anterior fórmula, reemplazamos los valores:

\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y - (-1))^2}{2^2} = 1

Resolvemos las partes necesarias:

\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1

Encontrar el centro y semiejes de la siguiente elipse: $9x^2 + 5y^2 - 18x - 40y + 44 = 0$ .

El primer paso es agrupar los términos:

(9x^2 - 18x) + (5y^2 - 40y) + 44 = 0

Ahora tenemos que deshacernos del coeficiente de $x^2$ y $y^2$ , para eso factorizamos:

9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 8y) + 44 = 0

Luego, completamos cuadrados (aplicando también la propiedad uniforme):

9(x^2 - 2x + 1^2) + 5(y^2 - 8y + 4^2) + 44 = 0 + 9(1^2) + 5(4^2)

Aplicamos cuadrado de un binomio:

9(x - 1)^2 + 5(y - 4)^2 + 44 = 89

Restamos 44 en ambos miembros:

9(x - 1)^2 + 5(y - 4)^2 = 45

Siguiendo la fórmula original, tenemos que igualar a 1. Para eso, dividimos en ambos miembros por 45:

\frac{9(x - 1)^2}{45} + \frac{5(y - 4)^2}{45} = \frac{45}{45}

Simplificamos:

\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 4)^2}{9} = 1

Por lo tanto, el centro es $(1, 4)$ , para calcular los semiejes sería: $\sqrt{a^2} = \sqrt{5} \Rightarrow a = \sqrt{5},\; \sqrt{b^2} = \sqrt{9} \Rightarrow b = 3$

Siendo en este caso $a$ el semieje menor y $b$ el semieje mayor.

Graficar la elipse con centro en $(-1, 2)$ , semieje horizontal $a = 4$ y semieje vertical $b = 2$ .

El gráfico de la elipse es:

Función Exponencial y Logarítmica

La función exponencial de base $a$ es $f(x) = a^x$
La función logarítmica de base $a$ es $f(x) = \log_a(x)$ . Su dominio es $\mathbb{R^+}$ .

La función logarítmica es la inversa de la exponencial. Si tenemos $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}$ y $f(x) = a^x$ , entonces $f$ es biyectiva, por lo que $f^{-1}(x) = \log_a(x)$ .

El logaritmo natural es la función logarítmica de base $e$ . Suponiendo que $f(x) = e^x$ , entonces $f^{-1}(x) = \ln(x)$ . El siguiente gráfico muestra la función exponencial y logarítmica:

Propiedades - Función exponencial

$a^{x + y} = a^x \cdot a^y$
$a^{x - y} = \frac{a^x}{a^y}$
$a^{xy} = (a^x)^y$
$a^{-x} = (\frac{1}{a})^x$
$(ab)^x = a^x b^x$
$a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}$

Propiedades - Función logarítmica

Sea $a > 1$ :

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
$\log_a(x^y) = y \cdot \log_a(x)$
$\ln(x) = b \implies x = e^b$

Ejercicios resueltos - Función exponencial y logarítmica

Resolver la siguiente ecuación: $2^{x + 1} = 8$

Igualamos la base de la exponencial con la base del número:

2^{x + 1} = 2^3

Igualamos los exponentes (ya que las bases son iguales):

x + 1 = 3

Restamos 1 en ambos miembros:

x = 2

Resolver la ecuación: $ln(x + 2) + ln(x - 3) = ln(2x - 1)$

Para resolver esta ecuación, debemos pensar en los valores que $x$ puede tomar (debe ser mayor a $0$ ):

(x + 2 > 0) \land (x - 3 > 0) \land (2x - 1 > 0)

(x > -2) \land (x > 3) \land (x > \frac{1}{2})

Se cumplen todos los casos $\iff x > -2$ .

Ahora podemos resolver la ecuación:

ln(x + 2) + ln(x - 3) = ln(2x - 1)

Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:

ln((x + 2)(x - 3)) = ln(2x - 1)

Igualamos los argumentos de los logaritmos:

(x + 2)(x - 3) = 2x - 1

Multiplicamos:

x^2 - x - 6 = 2x - 1

Restamos $2x$ y sumamos 1 en ambos miembros:

x^2 - 3x + 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2}

x = \frac{3 \pm \sqrt{-11}}{2}

x = \frac{3 \pm 11i}{2}

$x$ no puede ser un número complejo, por lo que no hay solución.

Resolver la ecuación: $\sqrt[3]{ln(x)} = ln(\sqrt[3]{x})$

Para resolver esta ecuación, debemos pensar en los valores que $x$ puede tomar (debe ser mayor a $0$ ):

(ln(x) > 0) \land (\sqrt[3]{x} > 0)

Se cumplen los casos $\iff x > 0$

Podemos usar la propiedad de la potencia de un logaritmo:

ln(\sqrt[3]{x}) = ln(x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot ln(x)

Reemplazamos en la ecuación:

\sqrt[3]{ln(x)} = \frac{1}{3} ln(x)

Elevamos ambos miembros al cubo:

ln(x) = \frac{1}{27} ln(x)^3

Restamos $\frac{1}{27} ln(x)^3$ en ambos miembros:

ln(x) - \frac{1}{27} ln(x)^3 = 0

Factorizamos:

ln(x)(1 - \frac{1}{27} ln(x)^2) = 0

Si $ab = 0 \Rightarrow a = 0\;\lor\;b = 0$ :

ln(x) = 0\;\lor\;1 - \frac{1}{27} ln(x)^2 = 0

Resolvemos el primer caso:

ln(x) = 0

Buscamos el valor de $x$ :

x = e^0

x = 1

Resolvemos el segundo caso:

1 - \frac{1}{27} ln(x)^2 = 0

\frac{1}{27} ln(x)^2 = 1

ln(x)^2 = 27

ln(x) = \pm \sqrt{27}

Buscamos el valor de $x$ :

x = e^{\pm \sqrt{27}}

x = e^{\sqrt{27}}\;\lor\;x = e^{-\sqrt{27}}

Las soluciones posibles son: $x = 1\;\lor\;x = e^{\sqrt{27}}\;\lor\;x = e^{-\sqrt{27}}$

Valor Absoluto Límites