Funciones (AM1)

Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x \in A$ un unico elemento $y \in B$ .

Dominio, Codominio e Imagen

f : A \to B

$A$ es el dominio de $f$ (Conjunto de salida).
$B$ es el codominio de $f$ (Conjunto de llegada).
Aplicamos la función en los elementos del dominio para encontrar los elementos del codominio, $f (x) = y$ .

El Dominio incluye los valores de $x$ en los que $f$ está definida y PUEDE usar.
El Codominio incluye valores de $y$ que $f$ PODRÍA tomar.
La Imagen es el conjunto de valores de $y$ que $f$ REALMENTE toma.

Encontrar el Dominio

Para encontrar el dominio de una función, debemos pensar en los valores que la misma está definida.

Ejemplo 1: $f (x) = \frac{1}{3 - x}$

La función está definida para todos los valores de $x$ excepto para aquellos que hacen que el denominador sea cero.

Podemos igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación: $3 - x = 0 \Rightarrow x \neq 3$ .

Por lo que el $D o m f (x) = R - {3}$ .

Ejemplo 2: $f (x) = \sqrt{x - 1}$

La raiz cuadrada está definida para valores mayores o iguales a cero.

En este caso podemos usar la siguiente desigualdad y resolverla: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Por lo que el $D o m f (x) = [1, \infty)$ .

Encontrar la Imagen

Para encontrar la imagen de una función, debemos pensar en los valores que la misma toma.

Ejemplo 1: $f (x) = x^{2}$

La función toma todos los valores de $y$ mayores o iguales a cero.

Por lo que la $I m f (x) = [0, \infty)$ .

Ejemplo 2: $f (x) = \frac{1}{x}$

La función toma todos los valores de $y$ excepto el cero.

Por lo que la $I m f (x) = R - {0}$ .

Funciones Elementales

Esta calculadora de geogebra muestra las funciones elementales y más usadas en la materia (puede resultar útil para experimentar y modificar las funciones):

Funciones Pares e Impares

$f$ es par si $f (- x) = f (x)$ , impar si $f (- x) = - f (x)$ .
Simétrica o asimétrica en el eje $y$ , respectivamente. Puede no ser par/impar.

Por la anterior definición, debemos evaluar la función en $- x$ y comparar.

Ejercicios resueltos - Funciones pares e impares

Determinar si $f (x) = x^{2}$ es par, impar o ninguna de las dos.

f (- x) = (- x)^{2}

El cuadrado de un número es positivo:

f (- x) = x^{2} = f (x)

Por lo que $f$ es par.

Determinar si $f (x) = x^{3}$ es par, impar o ninguna de las dos.

f (- x) = (- x)^{3}

Si el exponente es impar, el resultado es negativo:

f (- x) = - x^{3} = - f (x)

Por lo que $f$ es impar.

Determinar si $f (x) = x + 1$ es par, impar o ninguna de las dos.

\begin{array}{ll} f (- x) = - x + 1, \\ f (- x) \neq f (x) \end{array}

$f$ no es par,

\begin{array}{ll} - f (x) = - (x + 1) = - x - 1, \\ - f (x) \neq f (- x) \end{array}

$f$ tampoco es impar. Por lo tanto, ninguna de las dos.

Composición de funciones

Dadas dos funciones $f$ y $g$ , la composición de $f$ con $g$ es la función $f \circ g$ definida por $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ .

Dadas las siguientes funciones:

f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = \sqrt{x}

Evaluamos $g (x)$ en $f (x)$ :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = \frac{1}{g (x)} = \frac{1}{\sqrt{x}}

Damos con el dominio de $f$ y $g$ :

\begin{aligned} D o m f (x) & = R - {0}, \\ D o m g (x) & = [0, \infty) \end{aligned}

Por lo tanto, $D o m (f \circ g) (x) = R - {0} \cap [0, \infty) = (0, \infty)$

Ejercicios resueltos - Composición de funciones

Dadas las funciones $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sqrt{x}$ , calcular $(f \circ g) (x)$ y dar su dominio.

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Reemplazamos $x$ por $g (x)$ :

(f \circ g) (x) = (g (x))^{2}

Reemplazamos $g (x)$ por $\sqrt{x}$ y resolvemos:

(f \circ g) (x) = (\sqrt{x})^{2} = x

El $D o m f (x) = R$ y el $D o m g (x) = [0, \infty)$

Por lo tanto, $D o m (f \circ g) (x) = R \cap [0, \infty) = [0, \infty)$

Dadas las funciones $f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$ y $g (x) = \sqrt{x}$ , calcular $(g \circ f) (x)$ y dar su dominio.

(g \circ f) (x) = g (f (x))

Reemplazamos $x$ por $f (x)$ :

(g \circ f) (x) = \sqrt{f (x)}

Reemplazamos $f (x)$ por $\frac{1}{5 x - 2}$ y resolvemos:

(g \circ f) (x) = \sqrt{\frac{1}{5 x - 2}}

Igualamos el denominador por 0 y resolvemos:

5 x - 2 = 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}

El $D o m f (x) = R - {\frac{2}{5}}$ y el $D o m g (x) = [0, \infty)$

Por lo tanto, $D o m (g \circ f) (x) = R - {\frac{2}{5}} \cap [0, \infty) = [0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Dada la función $f (x) = \frac{1}{x}$ , calcular $(f \circ f) (x)$ y dar su dominio.

(f \circ f) (x) = f (f (x))

Reemplazamos $x$ por $f (x)$ :

(f \circ f) (x) = f (f (x)) = f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x

El $D o m f (x) = R - {0}$

Por lo tanto, $D o m (f \circ f) (x) = R - {0}$

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Una función $f$ es inyectiva si $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ (si 2 elementos del dominio no tienen igual imagen).
Una función $f$ es sobreyectiva si $I m f (x) = C o d o m f (x)$ .
Una función $f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Tomemos la siguiente función: $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ .

$f$ es inyectiva?

Evaluamos en $x_{1}$ y $x_{2}$ , los igualamos:

f (x_{1}) = f (x_{2})

Luego, reemplazamos $x$ por $x^{2}$ (el subíndice permanece):

x_{1}^{2} = x_{2}^{2}

Igualamos a 0 y resolvemos:

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 0

Aplicamos diferencia de cuadrados:

(x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) = 0

Si $a b = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$ :

(x_{1} - x_{2} = 0) \lor (x_{1} + x_{2} = 0)

Resolvemos ambos casos:

x_{1} = x_{2} \lor x_{1} = - x_{2}

Por lo tanto, $f$ no es inyectiva. No se cumple que $x_{1} = x_{2}$ en todos los casos.

Si trazamos una recta horizontal en el gráfico de una función inyectiva, esta solo cortará a la función en un punto. Lo cual no sucede en el ejemplo anterior.

$f$ es sobreyectiva?

$x^{2}$ solo toma valores positivos o cero. Por lo tanto, $I m f (x) = [0, \infty)$ .

Pero el $C o d o m f (x) = R$ . Por lo tanto, $I m f (x) \neq C o d o m f (x)$ , $f$ no es sobreyectiva.

Función Inversa

Dada una función $f$ , la función inversa $f^{- 1}$ es la función que cumple $f^{- 1} (f (x)) = x$ .
Una función $f$ tiene inversa $⟺$ es biyectiva.

Dada la función $g : R \to R$ , $g (x) = 3 x$ .

Esta función es biyectiva, cumple con las propiedades anteriores. Por lo tanto, tiene inversa.

Para encontrar la función inversa, despejamos $x$ :

\begin{array}{ll} y & = 3 x \\ \frac{y}{3} & = x \end{array}

Luego, intercambiamos el lugar de las variables:

\frac{x}{3} = y

Por lo tanto, $g^{- 1} (x) = \frac{x}{3}$ .

Ejercicios resueltos - Funciones inversas

Dada la función $g : R \to R$ , $g (x) = x + 3$ , encontrar (si es posible) $g^{- 1}$ .

$g$ es biyectiva?

$g$ es inyectiva, ya que $x_{1} + 3 = x_{2} + 3 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .

$g$ es sobreyectiva, ya que $I m g (x) = R$ .

Por lo tanto, $g$ es biyectiva.

Ahora podemos encontrar la función inversa con la fórmula anterior:

y = x + 3

Despejamos $x$ (restar 3 en ambos lados):

x = y - 3

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = x - 3

La función inversa es $g^{- 1} (x) = x - 3$ .

Determinar solo si $h (x) = \frac{3 x - 4}{x + 1}$ es inyectiva y encontrar su inversa.

Para saber si $h$ es inyectiva, evaluamos en $x_{1}$ y $x_{2}$ , los igualamos:

h (x_{1}) = h (x_{2})

Luego, reemplazamos $x$ por $x_{1}$ y $x_{2}$ :

\frac{3 x_{1} - 4}{x_{1} + 1} = \frac{3 x_{2} - 4}{x_{2} + 1}

Multiplicamos ambos miembros por $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ :

(3 x_{1} - 4) (x_{2} + 1) = (3 x_{2} - 4) (x_{1} + 1)

Resolvemos la ecuación:

3 x_{1} x_{2} + 3 x_{1} - 4 x_{2} - 4 = 3 x_{2} x_{1} + 3 x_{2} - 4 x_{1} - 4

Simplificamos:

3 x_{1} - 4 x_{2} = 3 x_{2} - 4 x_{1}

Sumamos $4 x_{2}$ y $4 x_{1}$ en ambos miembros:

7 x_{1} = 7 x_{2}

Dividimos por $7$ en ambos miembros:

x_{1} = x_{2}

Por lo tanto, $h$ es inyectiva.

Ahora podemos buscar la inversa de $h$ :

y = \frac{3 x - 4}{x + 1}

Multiplicamos por $(x + 1)$ en ambos miembros:

y (x + 1) = 3 x - 4

Distribuimos:

y x + y = 3 x - 4

Restamos $3 x$ en ambos miembros:

y x - 3 x + y = - 4

Restamos $y$ en ambos miembros:

y x - 3 x = - y - 4

Aplicamos factor común de $x$ en el primer miembro:

x (y - 3) = - y - 4

Dividimos por $(y - 3)$ en ambos miembros:

x = \frac{- y - 4}{y - 3}

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = \frac{- x - 4}{x - 3}

La función inversa es $h^{- 1} (x) = \frac{- x - 4}{x - 3}$ .

Determinar si $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 2$ tiene inversa y encontrarla.

Para saber si $f$ tiene inversa, debemos saber si es biyectiva.

$f$ es inyectiva?

Evaluamos en $x_{1}$ y $x_{2}$ , los igualamos:

f (x_{1}) = f (x_{2})

Luego, reemplazamos $x$ por $x_{1}$ y $x_{2}$ :

x_{1}^{3} + 2 = x_{2}^{3} + 2

Restamos 2 en ambos miembros:

x_{1}^{3} = x_{2}^{3}

Tomamos la raíz cúbica de ambos miembros:

\sqrt[3]{x_{1}^{3}} = \sqrt[3]{x_{2}^{3}}

Cancelamos las potencias:

x_{1} = x_{2}

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$f$ es sobreyectiva?

$f (x)$ puede ser cualquier número real. Por lo tanto, $I m f (x) = R$ .

Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva y biyectiva.

Ahora podemos buscar la inversa de $f$ :

y = x^{3} + 2

Restamos 2 en ambos miembros:

y - 2 = x^{3}

Tomamos la raíz cúbica de ambos miembros:

\sqrt[3]{y - 2} = \sqrt[3]{x^{3}}

Cancelamos la potencia:

\sqrt[3]{y - 2} = x

Intercambiamos el lugar de las variables:

y = \sqrt[3]{x - 2}

La función inversa es $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}$ .

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones trigonométricas tienen inversa acorde al dominio y conjunto de salida.

Ejemplo: $f : [0, π] \to [- 1, 1]$ , $f (x) = \cos (x)$ .

Los nombres de las funciones inversas son arc[nombre], como: $\arccos (x)$ (arcocoseno)

Parábola

Las parábolas tienen tres formas distintas de escribirse:

Polinómica: $y = a x^{2} + b x + c$
Factorizada: $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Canónica: $y = a (x - x_{v})^{2} + y_{v}$

Circunferencia

Fórmula de la Circunferencia

La fórmula de la circunferencia es: $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$

Donde $(x_{0}, y_{0})$ es el centro de la circunferencia y $r$ es el radio.

Ejercicios resueltos - Circunferencia

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en $(2, - 1)$ y radio $r = 3$ .

Sabiendo la anterior fórmula, reemplazamos los valores:

(x - 2)^{2} + (y - (- 1))^{2} = 3^{2}

Resolvemos las partes necesarias:

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

Encontrar el centro y radio de la siguiente circunferencia: $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ .

El primer paso es agrupar los términos:

(x^{2} - 4 x) + (y^{2} + 6 y) + 4 = 0

Luego, completamos cuadrados (aplicando también la propiedad uniforme):

(x^{2} - 4 x + 2^{2}) + (y^{2} + 6 y + 3^{2}) + 4 = 0 + 2^{2} + 3^{2}

Aplicamos cuadrado de un binomio (seguimos la fórmula original):

(x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} + 4 = 13

Restamos 4 en ambos miembros:

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9

Por lo tanto, el centro es $(2, - 3)$ , para calcular el radio sería: $\sqrt{r^{2}} = \sqrt{9} \Rightarrow r = 3$

Graficar la circunferencia con centro en $(1, 2)$ y radio $r = 2$ .

El gráfico se vería de la siguiente manera:

Elipse

Fórmula de la Elipse

La fórmula de la elipse es: $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$

Donde $(x_{0}, y_{0})$ es el centro de la elipse, $a$ y $b$ son los semiejes.

Ejercicios resueltos - Elipse

Hallar la ecuación de la elipse con centro en $(2, - 1)$ , semieje horizontal $a = 3$ y semieje vertical $b = 2$ .

Sabiendo la anterior fórmula, reemplazamos los valores:

\frac{(x - 2)^{2}}{3^{2}} + \frac{(y - (- 1))^{2}}{2^{2}} = 1

Resolvemos las partes necesarias:

\frac{(x - 2)^{2}}{9} + \frac{(y + 1)^{2}}{4} = 1

Encontrar el centro y semiejes de la siguiente elipse: $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x - 40 y + 44 = 0$ .

El primer paso es agrupar los términos:

(9 x^{2} - 18 x) + (5 y^{2} - 40 y) + 44 = 0

Ahora tenemos que deshacernos del coeficiente de $x^{2}$ y $y^{2}$ , para eso factorizamos:

9 (x^{2} - 2 x) + 5 (y^{2} - 8 y) + 44 = 0

Luego, completamos cuadrados (aplicando también la propiedad uniforme):

9 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) + 5 (y^{2} - 8 y + 4^{2}) + 44 = 0 + 9 (1^{2}) + 5 (4^{2})

Aplicamos cuadrado de un binomio:

9 (x - 1)^{2} + 5 (y - 4)^{2} + 44 = 89

Restamos 44 en ambos miembros:

9 (x - 1)^{2} + 5 (y - 4)^{2} = 45

Siguiendo la fórmula original, tenemos que igualar a 1. Para eso, dividimos en ambos miembros por 45:

\frac{9 (x - 1)^{2}}{45} + \frac{5 (y - 4)^{2}}{45} = \frac{45}{45}

Simplificamos:

\frac{(x - 1)^{2}}{5} + \frac{(y - 4)^{2}}{9} = 1

Por lo tanto, el centro es $(1, 4)$ , para calcular los semiejes sería: $\sqrt{a^{2}} = \sqrt{5} \Rightarrow a = \sqrt{5}, \sqrt{b^{2}} = \sqrt{9} \Rightarrow b = 3$

Siendo en este caso $a$ el semieje menor y $b$ el semieje mayor.

Graficar la elipse con centro en $(- 1, 2)$ , semieje horizontal $a = 4$ y semieje vertical $b = 2$ .

El gráfico de la elipse es:

Función Exponencial y Logarítmica

La función exponencial de base $a$ es $f (x) = a^{x}$
La función logarítmica de base $a$ es $f (x) = \log_{a} (x)$ . Su dominio es $R^{+}$ .

La función logarítmica es la inversa de la exponencial. Si tenemos $f : R \to R^{+}$ y $f (x) = a^{x}$ , entonces $f$ es biyectiva, por lo que $f^{- 1} (x) = \log_{a} (x)$ .

El logaritmo natural es la función logarítmica de base $e$ . Suponiendo que $f (x) = e^{x}$ , entonces $f^{- 1} (x) = l n (x)$ . El siguiente gráfico muestra la función exponencial y logarítmica:

Propiedades - Función exponencial

$a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}$
$a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$
$a^{x y} = (a^{x})^{y}$
$a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}$
$(a b)^{x} = a^{x} b^{x}$
$a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^{x}}$

Propiedades - Función logarítmica

Sea $a > 1$ :

$\log_{a} (x y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)$
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)$
$\log_{a} (x^{y}) = y \cdot \log_{a} (x)$
$\ln (x) = b ⟹ x = e^{b}$

Ejercicios resueltos - Función exponencial y logarítmica

Resolver la siguiente ecuación: $2^{x + 1} = 8$

Igualamos la base de la exponencial con la base del número:

2^{x + 1} = 2^{3}

Igualamos los exponentes (ya que las bases son iguales):

x + 1 = 3

Restamos 1 en ambos miembros:

x = 2

Resolver la ecuación: $\ln (x + 2) + \ln (x - 3) = \ln (2 x - 1)$

Para resolver esta ecuación, debemos pensar en los valores que $x$ puede tomar (debe ser mayor a $0$ ):

(x + 2 > 0) \land (x - 3 > 0) \land (2 x - 1 > 0)

(x > - 2) \land (x > 3) \land (x > \frac{1}{2})

Se cumplen todos los casos $⟺ x > - 2$ .

Ahora podemos resolver la ecuación:

\ln (x + 2) + \ln (x - 3) = \ln (2 x - 1)

Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:

\ln ((x + 2) (x - 3)) = \ln (2 x - 1)

Igualamos los argumentos de los logaritmos:

(x + 2) (x - 3) = 2 x - 1

Multiplicamos:

x^{2} - x - 6 = 2 x - 1

Restamos $2 x$ y sumamos 1 en ambos miembros:

x^{2} - 3 x + 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

x = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 (1) (5)}}{2 (1)}

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2}

x = \frac{3 \pm \sqrt{- 11}}{2}

x = \frac{3 \pm 11 i}{2}

$x$ no puede ser un número complejo, por lo que no hay solución.

Resolver la ecuación: $\sqrt[3]{\ln (x)} = \ln (\sqrt[3]{x})$

Para resolver esta ecuación, debemos pensar en los valores que $x$ puede tomar (debe ser mayor a $0$ ):

(\ln (x) > 0) \land (\sqrt[3]{x} > 0)

Se cumplen los casos $⟺ x > 0$

Podemos usar la propiedad de la potencia de un logaritmo:

\ln (\sqrt[3]{x}) = \ln (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot \ln (x)

Reemplazamos en la ecuación:

\sqrt[3]{\ln (x)} = \frac{1}{3} \ln (x)

Elevamos ambos miembros al cubo:

\ln (x) = \frac{1}{27} \ln (x)^{3}

Restamos $\frac{1}{27} \ln (x)^{3}$ en ambos miembros:

\ln (x) - \frac{1}{27} \ln (x)^{3} = 0

Factorizamos:

\ln (x) (1 - \frac{1}{27} \ln (x)^{2}) = 0

Si $a b = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$ :

\ln (x) = 0 \lor 1 - \frac{1}{27} \ln (x)^{2} = 0

Resolvemos el primer caso:

\ln (x) = 0

Buscamos el valor de $x$ :

x = e^{0}

x = 1

Resolvemos el segundo caso:

1 - \frac{1}{27} \ln (x)^{2} = 0

\frac{1}{27} \ln (x)^{2} = 1

\ln (x)^{2} = 27

\ln (x) = \pm \sqrt{27}

Buscamos el valor de $x$ :

x = e^{\pm \sqrt{27}}

x = e^{\sqrt{27}} \lor x = e^{- \sqrt{27}}

Las soluciones posibles son: $x = 1 \lor x = e^{\sqrt{27}} \lor x = e^{- \sqrt{27}}$