Desigualdades e Inecuaciones
Desigualdades
Una desigualdad es una expresión que indica que dos cantidades no son iguales.
Las desigualdades se pueden expresar con los símbolos de desigualdad:
- \(<\) (menor que)
- \(>\) (mayor que)
- \(≤\) (menor o igual que)
- \(≥\) (mayor o igual que)
Propiedades - Desigualdades
Sean \(a, b\) números reales, las siguientes propiedades son aplicables a cada caso de desigualdad:
- Tricotomía: Para cualquier par de números reales \(a\) y \(b\), solo UNO de los casos se cumple: \(a < b\), \(a = b\), \(a > b\).
- Transitividad: Si \((a < b) \land (b < c) \implies a < c\).
- Suma cerrada en \({X}\):
Si \(a, b \in \mathbb{X}, \implies a + b \in \mathbb{X}\)
Si \(a > 0 \land b > 0, \implies a + b > 0\) - Multiplicación cerrada en \({X}\):
Si \(\;a, b \in \mathbb{X}, \implies ab \in \mathbb{X}\;\)
Si \(a > 0 \land b > 0, \implies ab > 0\)
(La última propiedad será muy importante para resolver inecuaciones)
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad que involucra una incógnita. Por ejemplo, \(x + 3 > 5\) es una inecuación.
La solución será un conjunto (conjunto solución) de valores que satisfacen la inecuación. Expresado como intervalo o por comprensión.
Ejercicios resueltos - Inecuaciones
1.
\[x > 4 \]Si tuvieramos que expresar este valor en un intervalo, sería: \(x \in (4, \infty)\). 4 no se incluye en este intervalo \((>)\).
En la recta real, se vería así:
La parte azul corresponde a \((4, \infty)\): nuestro conjunto solución.
2.
\[x > -5 \land x \leq 3 \]En este caso, tenemos 2 condiciones para \(x\). Debe ser mayor a -5 y menor o igual a 3. Ambos casos pueden expresarse como intervalos, pero nuestro conjunto solución es la intersección entre ambos (cuando ambas condiciones se cumplen):
La línea violeta representa el conjunto solución: \((-5, 3]\)
3.
\[x^2 \geq 6 \]El primer paso en este ejercicio sería restar 4 en ambos lados de la inecuación para ser comparada con 0:
\[x^2 - 6 \geq 0 \]Podemos aplicar diferencia de cuadrados para factorizar:
\[(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) \geq 0 \]Sabiendo que el producto de \(ab \geq 0\) cuando ambos son positivos o ambos son negativos, hacemos un análisis de casos:
\[((x + \sqrt{6} \geq 0 )\land (x - \sqrt{6} \geq 0)) \lor ((x + \sqrt{6}\leq 0) \land (x - \sqrt{6} \leq 0)) \]Ahora resolvemos cada caso:
\[((x \geq -\sqrt{6}) \land (x \geq \sqrt{6})) \lor ((x \leq -\sqrt{6}) \land (x \leq \sqrt{6})) \]Dentro de cada caso tenemos 2 condiciones para \(x\), por lo que debemos buscar una intersección entre ellas:
Las intersecciones son \((-\infty, -\sqrt{6}]\) y \((\sqrt{6}, \infty]\). El conjunto solución contempla los casos donde \(ab\) son \((+)\) o \((-)\): \((-\infty, -\sqrt{6}] \cup (\sqrt{6}, \infty]\).
4.
\[(x + 2)(x - 2) \leq 0 \]Sabiendo que el producto de \(ab \leq 0\) cuando uno es negativo y otro positivo, hacemos un análisis de casos:
\[((x + 2 \geq 0 )\land (x - 2 \leq 0)) \lor ((x + 2 \leq 0) \land (x - 2 \geq 0)) \]Ahora resolvemos cada caso:
\[((x \geq -2) \land (x \leq 2)) \lor ((x \leq -2) \land (x \geq 2)) \]Los representamos en la recta real con las desigualdades de \(x\):
No existen valores de \(x\) para el segundo caso, por lo que el conjunto solución es \([-2, 2]\).
5.
\[\frac{1}{x} \geq 0 \]En este caso, multiplicamos ambos lados por \(x\):
\[1 \geq 0 \]Esto significa que \(x\) puede ser cualquier número real. Por lo que el conjunto solución es \(\mathbb{R}\).