Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades

Una desigualdad es una expresión que indica que dos cantidades no son iguales.

Las desigualdades se pueden expresar con los símbolos de desigualdad:

$<$ (menor que)
$>$ (mayor que)
$≤$ (menor o igual que)
$≥$ (mayor o igual que)

Propiedades - Desigualdades

Sean $a, b$ números reales, las siguientes propiedades son aplicables a cada caso de desigualdad:

Tricotomía: Para cualquier par de números reales $a$ y $b$ , solo UNO de los casos se cumple: $a < b$ , $a = b$ , $a > b$ .
Transitividad: Si $(a < b) \land (b < c) \implies a < c$ .
Suma cerrada en ${X}$ :
Si $a, b \in \mathbb{X}, \implies a + b \in \mathbb{X}$
Si $a > 0 \land b > 0, \implies a + b > 0$
Multiplicación cerrada en ${X}$ :
Si $\;a, b \in \mathbb{X}, \implies ab \in \mathbb{X}\;$
Si $a > 0 \land b > 0, \implies ab > 0$

(La última propiedad será muy importante para resolver inecuaciones)

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad que involucra una incógnita. Por ejemplo, $x + 3 > 5$ es una inecuación.

La solución será un conjunto (conjunto solución) de valores que satisfacen la inecuación. Expresado como intervalo o por comprensión.

Ejercicios resueltos - Inecuaciones

x > 4

Si tuvieramos que expresar este valor en un intervalo, sería: $x \in (4, \infty)$ . 4 no se incluye en este intervalo $(>)$ .

En la recta real, se vería así:

La parte azul corresponde a $(4, \infty)$ : nuestro conjunto solución.

x > -5 \land x \leq 3

En este caso, tenemos 2 condiciones para $x$ . Debe ser mayor a -5 y menor o igual a 3. Ambos casos pueden expresarse como intervalos, pero nuestro conjunto solución es la intersección entre ambos (cuando ambas condiciones se cumplen):

La línea violeta representa el conjunto solución: $(-5, 3]$

x^2 \geq 6

El primer paso en este ejercicio sería restar 4 en ambos lados de la inecuación para ser comparada con 0:

x^2 - 6 \geq 0

Podemos aplicar diferencia de cuadrados para factorizar:

(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) \geq 0

Sabiendo que el producto de $ab \geq 0$ cuando ambos son positivos o ambos son negativos, hacemos un análisis de casos:

((x + \sqrt{6} \geq 0 )\land (x - \sqrt{6} \geq 0)) \lor ((x + \sqrt{6}\leq 0) \land (x - \sqrt{6} \leq 0))

Ahora resolvemos cada caso:

((x \geq -\sqrt{6}) \land (x \geq \sqrt{6})) \lor ((x \leq -\sqrt{6}) \land (x \leq \sqrt{6}))

Dentro de cada caso tenemos 2 condiciones para $x$ , por lo que debemos buscar una intersección entre ellas:

Las intersecciones son $(-\infty, -\sqrt{6}]$ y $(\sqrt{6}, \infty]$ . El conjunto solución contempla los casos donde $ab$ son $(+)$ o $(-)$ : $(-\infty, -\sqrt{6}] \cup (\sqrt{6}, \infty]$ .

(x + 2)(x - 2) \leq 0

Sabiendo que el producto de $ab \leq 0$ cuando uno es negativo y otro positivo, hacemos un análisis de casos:

((x + 2 \geq 0 )\land (x - 2 \leq 0)) \lor ((x + 2 \leq 0) \land (x - 2 \geq 0))

Ahora resolvemos cada caso:

((x \geq -2) \land (x \leq 2)) \lor ((x \leq -2) \land (x \geq 2))

Los representamos en la recta real con las desigualdades de $x$ :

No existen valores de $x$ para el segundo caso, por lo que el conjunto solución es $[-2, 2]$ .

\frac{1}{x} \geq 0

En este caso, multiplicamos ambos lados por $x$ :

1 \geq 0

Esto significa que $x$ puede ser cualquier número real. Por lo que el conjunto solución es $\mathbb{R}$ .

Introducción (AM1)Valor Absoluto