Sistemas Lineales

Se denomina un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas a:

\begin{array}{cccc} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = y_1 \\ \vdots \hphantom{a_{11}x_1 + a_{1n}x_n} \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = y_m \end{array}

Tal que $y_1, \ldots, y_m, \; a_{ij} \; (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) \in \mathbb{K}$ .
La $n$ -tupla $(x_1, \ldots, x_n) \in \KK^n$ que satisface cada ecuación es la solución del sistema

El sistema es homogéneo si $y_i = 0 \; \forall i$ , y no homogéneo si $\exists i$ tal que $y_i \not=0$

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales

La matriz $A \in \KK^{m \times n}$ definida por $A_{ij} = a_{ij}$ se llama matriz asociada al sistema.

Un sistema homogéneo asociado a un sistema no homogéneo se obtiene al igualar a cero todos los términos independientes.

Operaciones elementales de fila

Dado a un sistema lineal homogéneo, estos cambios en las ecuaciones dan sistemas equivalentes:

Intercambiar dos ecuaciones de lugar.
Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
Reemplazar una ecuación por ella misma más un múltiplo de otra.

En un sistema lineal no homogéneo se aplican incluyendo a los términos independientes.

Si el conjunto de soluciones del sistema es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada ecuación, entonces intercambiar dos ecuaciones corresponde a intercambiar dos conjuntos en la intersección, lo cual no afecta el resultado (al ser conmutativa la intersección).
Si $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \KK^n$ es solución de:

(*) = \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

Multiplicando la $i$ -ésima ecuación por $\lambda \in \KK, \; \lambda \not= 0$ se obtiene:

(**) = \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ \lambda a_{i1}x_1 + \ldots + \lambda a_{in}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

$x$ es solución de todas las ecuaciones que no fueron modificadas, además que:

\lambda a_{i1}x_1 + \ldots + \lambda a_{in}x_n = \lambda (a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n) = \lambda \cdot 0 = 0

Luego $x$ es solución de $(**)$ . Multiplicando la $i$ -ésima ecuación por $\frac{1}{\lambda}$ se obtiene el sistema $(*)$ y un razonamiento análogo muestra que $x$ es solución de $(*)$ . Por lo tanto, los sistemas son equivalentes.

La tercer operación se justifica de manera similar, sean la $i$ -ésima y $j$ -ésima ecuaciones de $(*)$ :

\begin{aligned} a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n &= 0 \\ a_{j1}x_1 + \ldots + a_{jn}x_n &= 0 \end{aligned}

Sustituyendo la $i$ -ésima ecuación por la suma de ambas multiplicando la $j$ -ésima por $\lambda \in \KK$ se obtiene:

(a_{i1} + \lambda a_{j1})x_1 + \ldots + (a_{in} + \lambda a_{jn})x_n = 0

Por lo tanto,

(a_{i1} + \lambda a_{j1})x_1 + \ldots + (a_{in} + \lambda a_{jn})x_n = (a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n) + \lambda (a_{j1}x_1 + \ldots + a_{jn}x_n) = 0 + \lambda \cdot 0 = 0

Si tenemos una matriz $A$ asociada al sistema $H$ aplicar estas operaciones en $H$ equivale a hacerlo en la matriz $A$ .

Sea $H$ un sistema lineal homogéneo de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas. Aplicando los cambios puede obtenerse un sistema lineal homogéneo $H_0$ cuya matriz $B$ es triangular superior, es decir, tal que $B_{ij} = 0$ si $i > j$ .

Sea $H$ un sistema lineal no homogéneo con soluciones y $S$ el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado a $H$ , sea $p$ solución particular de $H$ .
El conjunto de soluciones $M$ de $H$ es: $M = S + p = \{ s + p \; | \; s \in S \}$ .