Sistemas Lineales

Método de eliminación de incógnitas

Sean $c_1, \ldots, c_m \in \mathbb{K}$ , si $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n$ es solución del sistema de ecuaciones:

\begin{array}{cccc} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = y_1 \\ \vdots \hphantom{a_{11}x_1 + a_{1n}x_n} \vdots \; \; \; (*) \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = y_m \end{array}

Tal que $y_1, \ldots, y_m, \; a_{ij} \; (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) \in \mathbb{K}$ , entonces $(x_1, \ldots, x_n)$ también es solución de la ecuación

\displaystyle{\sum_{i=1}^m} c_i(a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n ) = \sum_i c_iy_i

Las ecuaciones $(*)$ forman un sistema de ecuaciones lineales de $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas.
El sistema es homogéneo si $y_i = 0 \; \forall i$ , y no homogéneo si $\exists i \mid y_i \not=0$

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si cada ecuación de un sistema es combinación lineal del otro.

Por ejemplo, es posible resolver ecuaciones con el método de eliminación de incógnitas de la siguiente forma:

\begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 3x + y + z = 5 \\ 2x + 3y - z = 3 \end{cases}

Sumamos la primera y tercera ecuación:

\begin{aligned} &x + 2y + z = 7 \\ &\underline{2x + 3y - z = 3} \\ &3x + 5y = 10 \; (*) \end{aligned}

Hacemos lo mismo para la segunda y tecera ecuación

\begin{aligned} &3x + y + z = 5 \\ &\underline{2x + 3y - z = 3} \\ &5x + 4y = 8 \; (**) \end{aligned}

Ahora lo hacemos para $(*)$ y $(**)$ y despejamos $y$ :

\begin{aligned} &3x + 5y \cdot 5 = 10 \cdot 5 \\ &5x + 4y \cdot (-3) = 8 \cdot (-3) \end{aligned}

\begin{aligned} 15x + 25y = 50 & \\ \underline{-15x - 12y = -24} & \\ 13y = 26 & \\ y = 2 \end{aligned}

Ahora con el valor de $y$ buscamos el valor de $x$ :

\begin{aligned} 3x + 5y &= 10 \\ 3x + 5(2) &= 10 \\ 3x &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned}

Buscamos el valor de $z$ :

\begin{aligned} x + 2y + z &= 7 \\ 4 + z &= 7 \\ z &= 3 \end{aligned}

Finalmente, verificamos:

\begin{aligned} 0 + 2(2) + 3 = 7 \\ 3(0) + 2 + 3 = 5 \\ 2(0) + 3(2) - 3 = 3 \end{aligned}

Esta forma de resolver las ecuaciones es cada vez más lenta y tediosa dependiendo la complejidad del problema a resolver. Existe una forma algorítmica y más conveniente de aplicar el método.

Matrices

Una matriz $m \times n$ es un arreglo $\in \mathbb{R}$ de $m$ filas y $n$ columnas

Se utliza la notación $A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ para decir que $A$ es matriz $m \times n$

\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}

Denotamos $F_i$ ( $n$ -upla) a la fila $i$ ubicada en la posición $i$ desde arriba:

F_i \rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{purple}{a_{i1}} & \color{purple}{\ldots} & \color{purple}{a_{ij}} & \color{purple}{\ldots} & \color{purple}{a_{in}} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}

Y también $C_j$ ( $m$ -upla) a la columna $j$ ubicada en la posición $j$ desde la izquierda:

\begin{array}{ccccc} C_j & & \\ \downarrow & & \\ \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & \color{purple}{a_{1j}} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \color{purple}{\vdots} & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \ldots & \color{purple}{a_{ij}} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \color{purple}{\vdots} & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & \color{purple}{a_{mj}} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} & & & \end{array}

Escribimos $[A]_{ij}$ para denotar la entrada/elemento $a_{ij}$ de $A$ .
Dos matrices del mismo tamaño $A = [a_{ij}], \; B = [b_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ son iguales si cada una de sus entradas lo son:

A = B \iff a_{ij} = b_{ij} \; (\forall i, j)

Sistemas de ecuaciones

Para representar el sistema de ecuaciones:

\begin{array}{cccc} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = y_1 \\ \vdots \hphantom{a_{11}x_1 + a_{1n}x_n} \vdots \; \; \; \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = y_m \end{array}

Podemos usar matrices:

\begin{aligned} A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n}, \\ X = [x_i] \in \mathbb{R}^{m \times 1}, \\ Y = [y_i] \in \mathbb{R}^{m \times 1} \end{aligned} \implies AX = Y

\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bmatrix}

Un ejemplo podría ser el siguiente:

\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix}

Algunos aspectos a considerar son:

Si una incógnita no aparece en la ecuación su coeficiente será 0
De determinan la cnatidad de incógnitas por la cantidad de columnas de $A$

Filas como vectores

Podemos considerar las filas dentro de una matriz $A$ de $m \times n$ como un vector en $R^n$ .

Tomando por ejemplo $F_i(A) = \begin{bmatrix} a_{i1} & \ldots & a_{in} \end{bmatrix}$ y $c \in \mathbb{K}$ :

$cF_i = \begin{bmatrix} ca_{i1} & \ldots & ca_{in} \end{bmatrix}$
$Fr + Fs = \begin{bmatrix} a_{r1} + a_{s1} & \ldots & a_{in} + a_{sn} \end{bmatrix}$
$F_i = \begin{bmatrix} 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix}$ es fila nula.

Operaciones elementales por fila

Dado $A = [a_{ij}]$ una matriz $m \times n$ , $e$ es operación elemental por fila si al aplicarla a la matriz se obtiene $e(A)$ .

Algunas formas de obtener $e(A)$ son:

E1) Multiplicando $F_r$ por $c \not=0$ . Su inversa es multiplicarla por $\frac{1}{c}$
E2) Cambiando $F_r$ por $F_r + tF_s$ con $r \not=s$ donde $t \in \mathbb{K}$ . Su inversa es multiplicar $F_s$ por $-t \in \mathbb{K}$ y sumarla a $F_r$
E3) Permutando $F_r$ por $F_s$ . Su inversa es hacer otra vez la permutación.

Matriz ampliada

Sea $A$ la matriz de un sistema de ecuaciones, su matriz ampliada es:

A' = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & \big| & y_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \big| & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} & \big| & y_m \end{bmatrix}

También podemos aplicar operaciones elementales en ellas.
Si tenemos una matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales $[A \mid Y]$ al obtener $[B \mid Z]$ aplicando operaciones elementales en $[A \mid Y]$ , ambos sistemas tendrán las mismas soluciones.
Si el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, la matriz ampliada es $[A \mid 0]$

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales, podemos representarlo como matriz ampliada y resolver:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ y - z = -2 \end{cases} \implies \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \big| & 6 \\ 2 & 3 & 1 & \big| & 14 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{F_2 - 2F_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \big| & 6 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & -2 \end{bmatrix}

\xrightarrow[]{F_3 - F_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \big| & 6 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \big| & -4 \end{bmatrix} , \; 0 \not=-4

Matriz MRF

Una matriz A de $m \times n$ es reducida por filas o MRF si:
1 ) La primera entrada no nula de una fila es $1$ , llamado 1 principal y
2 ) Cada columna que contiene un 1 principal tiene todos los otros elementos iguales a $0$

Ejemplos:

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}

Matriz MERF

Una matriz A de $m \times n$ es escalón reducida por fila o MERF si:
1 ) Es MRF,
2 ) Todas las filas cuyas entradas son todas nulas están al final de la matriz, y
3 ) En dos filas consecutivas no nulas el 1 principal de la fila inferior está más a la derecha que el 1 principal de la fila anterior.

Ejemplos:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Algoritmo de Gauss

Dada la matriz $A$ de $m \times n$ podemos implementar el siguiente algoritmo:

1) Ubicarse en la primer fila.
2) Si la fila es $0$ y no es la última, pasar a la siguiente y repetir el paso.
3) Si la fila no es $0$ :

Si la primera entrada no nula está en la columna $k$ con valor $c$ , dividir la fila por $c$
Con operaciones elementales $F_r + tF_s$ hacer $0$ las entradas en la columna $k$

4) Si la fila no es la última, pasar a la siguiente y aplicar paso 2.
5) Intercambinado las filas, ponemos los 1 principal de forma escalonadas y las filas nulas al último.

Finalmente, obtenemos una matriz MERF.

Para describir el conjunto solución despejamos en cada ecuación la incógnita correspondiente al 1 prinicipal.
Tendremos tres opciones: no tener solución, tener soluciones infinitas y por último parametrizadas por incógnitas que no corresponden al 1 principal.

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \big| & 1 \\ 1 & -3 & 3 & \big| & 2 \\ 2 & -3 & 5 & \big| & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{F_2 - F_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \big| & 1 \\ 0 & -3 & 1 & \big| & 1 \\ 2 & -3 & 5 & \big| & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{F_3 + 2F_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \big| & 1 \\ 0 & -3 & 1 & \big| & 1 \\ 0 & -3 & 1 & \big| & 1 \end{bmatrix}

\xrightarrow[]{- \frac{1}{3} F_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \big| & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \big| & - \frac{1}{3} \\ 0 & -3 & 1 & \big| & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{F_3 - 3F_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \big| & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \big| & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \big| & \end{bmatrix}

Tenemos el final conjunto solución:

\left\{ (-2x_3 + 1, \; \frac{1}{3}x_3 - \frac{1}{3}, \; x_3) \mid x_3 \in \mathbb{R} \right\}

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada de orden $n$ es diagonal si todas las entradas fuera de la diagonal son nulas.

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Matriz Escalar

Una matriz cuadrada de orden $n$ es escalar si es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales.

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

Matriz Identidad

Una matriz diagonal de orden $n$ con todos $1$ en la diagonal es una matriz identidad de orden $n$ , denotada como $Id_n$

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriz Triangular Inferior

Una matriz triangular inferior es aquella con elementos nulos superiores a la diagonal.

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix}

Matriz Elemental

Una matriz $m \times m$ es elemental si se obtiene por una única operación elemental a partir de la matriz identidad $Id_m$

Una matriz elemental es invertible.

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{F_1 \leftrightarrow F_2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriz Invertible

Sea $A$ una matriz $n \times n$ con coeficientes en $\mathbb{K}$
La matriz $B \in M_{n \times n}(\mathbb{K})$ es única inversa de $A$ si $BA = AB = Id_n \implies A$ es invertible

Si $R$ es MERF $\land \; R$ es invertible $\implies R = Id_n$

Podemos denotar la matriz inversa de $A$ como $A^{-1}$

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}

Matriz Transpuesta

Sea $A$ una matriz $m \times n$ su transpuesta es la matriz $A^{t} \; n \times m$ cuyas entradas se definen como:

[A^t]_{ij} = [A]_{ji}

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \implies A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}

Submatrices

Sean $A \in \mathbb{K}^{n \times n}, \; 1 \leq i, j \leq n$ se define $A(i \mid j) \in \mathbb{K}^{n-1 \times n-1}$ la matriz obtenida de eliminar $F_i$ y $C_j$ de $A$

Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

Dados $A, B \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; A + B$ es la matriz obtenida por sumar los elementos de igual coordenada:

A, B \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; [A + B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}

Ejemplo:

\begin{bmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 15 & 20 & 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 13 \\ 19 & 25 & 31 \end{bmatrix}

Propiedades:

P1) Conmutatividad $A + B = B + A$
P2) Asociatividad: $A + (B + C) = (A + B) + C$
P3) Elemento neutro: $A + 0 = A$
P4) Opuesto: $A + (-A) = 0$

Producto de Matrices

Dados $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{K}^{n \times p}$ el producto $A \cdot B$ es una matriz de orden $m \times p$ con entradas definidas por:

[A \cdot B]_{ij} = \displaystyle{\sum_{k=1}^n \; [A]_{ik} \cdot [B]_{kj}}

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 10 & 15 \end{bmatrix} , \; B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

$A$ es $\color{blue}{2}$ $\times$ $\color{green}{2}$ y $B$ es $\color{green}{2}$ $\times$ $\color{blue}{3}$ $\implies A \cdot B =$ $\color{blue}{2}$ $\times$ $\color{blue}{3}$

A \cdot B = \begin{bmatrix} (0 \cdot 5 + 4 \cdot 4) & (0 \cdot 2 + 5 \cdot 5) & (0 \cdot 3 + 5 \cdot 6) \\ (10 \cdot 1 + 15 \cdot 4) & (10 \cdot 2 + 15 \cdot 5) & (10 \cdot 3 + 15 \cdot 6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 25 & 30 \\ 70 & 95 & 120 \end{bmatrix}

Propiedades:

P1) Elemento neutro: $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; A \cdot Id_n = Id_m \cdot A = A$
P2) Asociatividad: $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{K}^{n \times p}, \; C \in \mathbb{K}^{p \times q}, \; A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$
P3) Distributividad: $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; B, C \in \mathbb{K}^{n \times p}, \; A \cdot (B \cdot C) = A \cdot B + A \cdot C$

Multiplicación de matriz por escalar

Dado $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; c \in \mathbb{K}$ , la matriz $cA$ se obtiene multiplicando los elementos de $A$ por $c$ :

cA \in \mathbb{K}^{m \times n}, \; [cA]_{ij} = c[A]_{ij}

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} , \; c = 10 \implies 10A = \begin{bmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60 \end{bmatrix}

Propiedades:

P1) $1A = A$
P2) $(cd)A = c(dA)$
P3) Distributividad: $c(A + B) = cA + cB \; \land \; (c + d)A = cA + dA$

Determinante

Sean $n \in \mathbb{N}, \; A = [a_{ij}] \in \mathbb{K}^{n \times n}, \; det(A)$ o $|A|$ (determinante de $A$ ) se define:
1 ) Si $n=1, \; det \;A=a_{11}$
2 ) Si $n > 1$ ,

det \; A = a_{11} \; det \; A(1 \mid 1) - a_{21} \; det \; A (2 \mid 1) + \ldots + (-1)^{1 + n} a_{n1} \; det \; A (n \mid 1)

En otros términos:

det \; A = \displaystyle{\sum_{i=1}^n} \; (-1)^{1 + i} a_{i1} \; det \; A(i \mid 1)

Ejemplo:

Calcular el determinante de $A$ :

A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}

\begin{aligned} det \; A &= \displaystyle{\sum_{i=1}^2} \; (-1)^{1+i} a_{i1} \; det \; A(i \mid 1) \\ &= (-1)^{1+1} a_{11} \; det \; A(1 \mid 1) + ((-1)^{1+2} a_{21} \; det \; A(2 \mid 1)) \\ &= 5 \cdot 4 + (-1) \cdot 6 \cdot (-3) \\ &= 20 + 18 \\ &= 38 \end{aligned}

Teorema - Matriz 2x2 y determinante

$A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ es invertible $\iff det \; A \not=0$

Si tenemos una matriz $A$ como:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Entonces:

det \; A = a \; det[d] - b \; det[c] = ad - bc

También, la fórmula de su inversa $A^{-1}$ es:

A^{-1} = \frac{1}{det \; A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Teorema - Determinante de matriz transpuesta

El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su transpuesta: $det \; (A) = det \; (A^t)$

Teorema - Producto de matrices

Sean $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n} \implies det \; (AB) = det \; (A) \cdot det \; (B)$

Autovalor y Autovector

Sea $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , $\lambda \in \mathbb{K}$ es autovalor de $A$ , si tenemos $\mathbf{v} \in \mathbb{K}^n$ no nulo tal que: $Av = \lambda \mathbf{v}$
entonces $\mathbf{v}$ es un autovector asociado a $\lambda$

Ejemplo:

$1$ es autovalor de $Id_n$ , y todo $\bfv \in \KK^{n}$ es un autovector asociado a $1$ ya que $Id_n \bfv = 1 \cdot \bfv$

Si queremos hallar los autovalores de $A \in \KK^{n \times n}$ y describir el autoespacio asociado, debemos hallar que $\lambda \in \KK, \; \bfv \in \KK^n$ satisfacen:

A\bfv = \lambda\bfv \iff A\bfv - \lambda\bfv = 0 \iff (A - \lambda Id)\bfv = 0

$\lambda \in \KK$ es un autovalor de $A$ y $\bfv \in \KK^n$ es autovector asociado a $\lambda \iff$
1 ) $\; det(A - \lambda Id) = 0$
2 ) $\; \bfv$ es solución del sistema homogéneo $(A - \lambda Id)X = 0$

Para resolver este problema, se usa lo siguiente:

Sea $A \in \KK^{n \times n}$ , el polinomio característico de $A$ es $\chi_{A} (x) = det(A - xId)$

Ejemplo:

El polinomio característico de $Id_n$ es:

\chi_{Id_n}(x) = (x - 1)^n

Determinamos que $\lambda \in \KK$ es autovalor $\iff \lambda$ es raíz del polinomio catacterístico: $\chi_{A} (\lambda) = det(A - \lambda Id) = 0$